向量值有理插值的构造方法*

马锦锦

(安徽建筑大学数理系 安徽合肥 230601)

1 引言

现有的构造向量值有理插值函数方法都与连分式相联系[1-3]，而用连分式计算是有条件的，就是假定在计算过程中每一步都是可行的，即不会出现分母为零，但在实际进行计算之前，却无法判定某一步会出现分母为零的情况.[1-3]即使出现分母为零的情况，也不能断言相应的插值函数不存在.[3]常用的基于连分式的计算是有条件限制，受较强约束的.为了避免这一缺点，本文给出一种约束较少，计算简单的构造向量值有理插值函数方法.

本文主要研究二元向量值有理插值函数的构造问题.首先给出二元向量值有理插值问题如下：

设x0

寻求向量值有理分式:

(1.1)

使得

(1.2)

2插值算子的引入

对于给定的插值条件，可以仿造构造多项式插值函数那样来构造插值公式.因此，本节引入多项式形式插值算子及待定的参数，用于构造二元向量值有理插值函数.

对于给定的x0

wi(x)=(x-x0)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn),

(2.1)

定义有理分式函数如下:

(2.2)

其中,

(2.3)

同理，对于给定的y0

wj(y)=(y-y0)…(y-yj-1)(y-yj+1)…(y-ym),

(2.4)

定义有理分式函数如下:

(2.5)

其中:

(2.6)

构造插值算子:

(2.7)

3向量值有理插值公式的构造

引入插值算子

(3.1)

显然 ，

i=0,1,…,n;j=0,1,…,m.

(3.2)

这就是二元向量值有理插值公式。

(3.3)

(3.4)

(3.5)

故得:

ι=0,1,…,n;k=0,1,…,m

故本节所构造的二元向量值有理插值公式满足插值条件.

4举例

x0=-1,x1=0,y0=0,y1=1

解: 由式(3.1) 知插值算子

由式(2.2)，(2.5)知

由公式(3.2)得

u=0,1;v=0,1i=0,1;j=0,1.

参考文献：

[1]H E Salzer.Note on osculatory rational interpolation[J]. Math Comput,1962，16 (80)： 486.

[2]L Wuytack. On the osculatory rational interpolation problem[J].Math Comput, 1975,29(131):35.

[3]程荣.构造向量值有理插值函数的方法[D].合肥：合肥工业大学，2007.9.

[4]王仁宏, 梁学章. 多元函数逼近[M]. 北京：科学出版社,1988.37.

[5]朱功勤, 顾传青, 向量连分式逼近与插值[J]. 计算数学,1992,14(4):427.