Schauder不动点定理在分数阶三点边值问题中应用的新结果

王丽颖, 许晓婕

(1. 白城师范学院 数学学院, 吉林 白城 137000; 2. 中国石油大学(华东) 理学院, 山东 青岛 266555)

0 引 言

分数阶微分方程在流体力学、 黏弹性力学、 分数控制系统与分数控制器、 各种电子回路、 电分析化学、 生物系统的电传导、 回归模型, 特别是与分形维数有关的物理和工程领域应用广泛[1-7]. 但目前的大部分结果都是研究线性分数阶微分方程初值问题的可解性. 文献[8]给出了如下三点边值问题非线性项当f(t,u)=k(t)/uλ时正解的存在性结果:

(1)

1 预备知识

引理1[8]给定y∈C(0,1), 方程

(2)

引理2由式(2)定义的格林函数G(t,s)具有如下性质:

(3)

(4)

其中0

下面给出一些记号. 如果对几乎处处的t∈[0,1], 有b≥0,b∈L1(0,1)并且在一个正测集上是正的, 则称b≻0. R+表示正实数集, 如果f: [0,T]×R+→R是一个L1-Carathéodory函数, 则称f∈Car([0,1]×R+,R), 即f关于其第二个变量是连续的, 且对任意的0

2 主要结果

定理1假设下列条件成立, 则方程(1)至少存在一个正解:

(H1) 对任意的L>0, 存在一个函数φL≻0, 使得对a.e.t∈(0,1)及所有的x∈(0,L],f(t,a(t)x)≥φL(t);

(H2) 存在g(x),h(x)和k(t)≻0, 使得对a.e.t∈(0,1)及所有的x∈(0,∞), 0≤f(t,x)≤k(t){g(x)+h(x)}, 其中:g: (0,+∞)→[0,+∞)连续且单调不增;f: [0,+∞)→[0,+∞)连续且h/g单调不减;

证明: 令E=(C[0,1],‖·‖), 且Ω是如下定义的一个闭凸集:

Ω={x∈C[0,1]: 对所有的t∈[0,1],tα-1r≤x(t)≤tα-1R},

定义算子T:Ω→E,

则方程(1)是否存在解等价于x=Tx是否存在不动点.

令R,r是满足条件(H3)的正常数. 下面证明T(Ω)⊂Ω.

事实上, 对任意的x∈Ω和t∈(0,1), 由条件(H1)～(H3)可得

另一方面, 由条件(H2),(H3), 有

因此,T(Ω)⊂Ω.

标准证明可知T:Ω→Ω是全连续算子. 直接应用Schauder不动点定理, 方程(1)至少存在一个正解x(t)∈C[0,1]. 证毕.

情形1)γ*=0. 作为定理1的应用, 考虑γ*=0. 取r=ΦR1, 有:

推论1假设f(t,x)满足条件(H1),(H2). 进一步, 假设:

(H3)′ 存在正常数R>0, 使得

R>ΦR1>0,

(5)

(6)

且

(7)

其中

则方程(1)至少存在一个正解.

例1假设方程(1)中的非线性项是

f(t,x)=k(s)(x-λ+μxν),

(8)

其中: 0<λ<1;ν≥0,μ≥0是非负参数. 当γ*=0,ω(λ)<+∞时: 1) 如果λ+ν<1-λ2, 则对任意的μ≥0, 方程(1)至少存在一个正解; 2) 如果λ+ν≥1-λ2, 则对每个0≤μ<μ1, 方程(1)至少存在一个正解, 其中μ1是一个正常数.

证明: 应用推论1. 令

时至少存在一个正解.

令l(R)在R0点取极大值, 则

从而有

情形2)γ*>0. 此时只需令r=γ*.

推论2假设f(t,x)满足条件(H1),(H2). 进一步, 假设:

如果γ*>0, 则方程(1)至少存在一个正解.

例2设方程(1)中的非线性项为式(8), 其中:λ>0;ν≥0;e(t)满足γ*>0,ω(λ)<+∞.

1) 如果λ+ν<1, 则对任意的μ≥0, 方程(1)至少存在一个正解;

2) 如果λ+ν≥1, 则对任意的0≤μ<μ2, 方程(1)至少存在一个正解, 其中μ2为正常数.

时至少有一个正解.

情形3)γ*≤0.

推论3假设f(t,x)满足条件(H1),(H2). 进一步, 假设:

(H5) 存在两个正常数R>r>0, 使得

R>ΦR1+γ*≥r>0,

(9)

(10)

(11)

其中

则方程(1)至少存在一个正解.

例3令方程(1)中的非线性项为式(8), 其中:k≻0;λ>0;ν≥0. 如果γ*≤0,ω(λ)<+∞,

(12)

其中m0是如下方程的唯一解:

则方程(1)至少存在一个正解.

证明: 应用推论3. 令g(x),h(x),k(t)与例1一致, 则条件(H2)成立且条件(H5)变为

γ*≥r-β1R-λ, (1+μRλ+ν)β2r-λ≤R

(13)

和ω(λ)<+∞. 如果固定R=(1+μRλ+ν)β2r-λ, 则第一个不等式等价于

令m=1/R, 则

求导可得

令F′(m)=0, 则有

定义Φ(m)为

易知Φ(m)在m∈[0,+∞)上是单调增函数, 且当m→+∞时,Φ(m)→+∞. 因此Φ(m)=λ2β1存在唯一解m0满足

(14)

即

(15)

同时有

即

(16)

因此, 由0<λ,ν<1和1-λ-ν-λ2>0可得

证毕.

显然, 本文推广了文献[8]的结果.

[1] Kilbas A A, Srivasfava H M, Trujillo J J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations [M]. North-Holland Mathematics Studies, Vol.204. Amsterdam: Elsevier, 2006.

[2] Oldham K B, Spanier J. The Fractional Calculus [M]. New York: Academic Press, 1974.

[3] Ross B. Fractional Calculus and Its Applications [M]. Lecture Notes in Mathematics, Vol.457. Berlin: Springer, 1975.

[4] Nonnenmacher T F, Metzler R. On the Riemann-Liouvile Fractional Calculus and Some Recent Applications [J]. Fractals, 1995, 3(3): 557-566.

[5] Tatom F B. The Relationship between Fractional Calculus and Fractals [J]. Fractals, 1995, 3(1): 217-229.

[6] Podlubny I. Fractional Differential Equations [M]. Mathematics in Science and Engineering, Vol.198. New York: Academic Press, 1999.

[7] Samko S G, Kilbas A A, Marichev O I. Fractional Integral and Derivatives: Theorey and Applications [M]. [S.l.]: Gordon and Breach Science Publishers, 1993.

[8] WANG Li-ying, XU Xiao-jie. Applications of Schauder’s Fixed Point Theorem to Three-Point Boundary Value Problem of Fractional Differential Equations [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2012, 50(2): 195-200. (王丽颖, 许晓婕. Schauder不动点定理在分数阶三点边值问题中的应用 [J]. 吉林大学学报: 理学版, 2012, 50(2): 195-200.)