基于随机模糊参数的导弹武器系统可用度分析

杨继坤，徐廷学，赵 亮，陈 卓

(1.海军航空工程学院 研究生管理大队，山东 烟台264001;2.海军航空工程学院 兵器科学与技术系，山东 烟台264001;3.中国人民解放军92076 部队，北京102202)

0 引 言

对导弹武器系统可用度的评估，通常是根据装备某个时期内统计的各项时间因素值来进行计算，由于统计时间周期长，影响因素众多，这种方法不能很好地反映装备真实可用度水平［1］。目前，研究导弹武器系统等可修系统的主要数学工具是随机过程理论。文献［2］评定了出现保障延误时间的可修系统稳态可用度。文献［3-4］利用马尔可夫更新过程分析了侦察系统的可靠性和装甲装备的使用可用度。文献［5］基于更新过程进行了导弹武器系统的可用度分析。

在对武器系统进行可用度分析时，由于经济上或者试验环境难以模拟等原因，并不能确切知道影响可用度的时间分布和参数值，而只能根据已有的实验和专家的经验确定这些分布类型和参数区间，将其描述为随机模糊变量是更客观、更合理的。目前，随机模糊理论在可靠性领域有一定的应用。文献［6-7］基于模糊随机理论建立了结构可靠性分析模型。文献［8］基于模糊理论进行了导弹系统贮存可靠性仿真方法研究。

本文首先基于马尔可夫更新过程和拉普拉斯变换工具，建立考虑技术阵地设备部分战损情况下和具有保障延误的串联可修导弹武器系统可用度分析模型。针对可用度分析中存在模糊因素的特点，将导弹视作模糊系统，引入随机模糊的概念，采用三角模糊数量化模糊信息，估算可用度水平。

1 马尔可夫更新过程

设随机变量Zn取值在E={0，1，…，K}中，随机变量Tn取值在［0，∞)中，且有0=T0≤T1≤T2≤…≤Tn，n=0，1，…，如果对所有j ∈E，t ≥0，有P{Zn+1=j，Tn+1-Tn≤t| Z0，Z1，…，Zn，T0，T1，…，Tn}=P{Zn+1=j，Tn+1-Tn≤t| Zn}，则随机过程(Z，T)={Zn，Tn，n=0，1，…}称为状态空间E 上的马尔可夫更新过程。经简化求得马尔可夫更新方程为［3-4］

即:

其中，Ai(t)为系统可用度;gi(t)为定义在［0，∞)上的非负、在任何有限区间上的有界函数，在计算可用度时，通常这个函数是不同装备服从任意分布的寿命、维修、保障延误的时间。

在本文中，G(t)的Laplace 变换为

Laplace-Stieltjes 变换为

R(s)表示复变数s 的实部，Gk(t)表示G(t)的k 重卷积［9］，即，且G(0)(t)=1，t ≥0。

2 随机模糊理论

设(Θ，P(Θ)，Cr)为可信性空间，其中Θ 为非空集合，P(Θ)为Θ 的幂集，Cr 为定义在P(Θ)上的可信性测度［10-12］。

定义1:假设ξ 为一从可信性空间(Θ，P(Θ)，Cr)到实数集R 上的函数，则ξ 为模糊变量。

定义2:令ξ 为可信性空间(Θ，P(Θ)，Cr)上的模糊变量，α ∈(0，1］，称和分别为ξ 的α-悲观值和α-乐观值。

定义3:设ξ 为模糊变量，它的期望值E［ξ］是有限的，则。

定义4:若a=(al，am，an)，0 ＜al≤am≤al，称a 为一个三角模糊数，如果其隶属度函数可以表示为

定义5:设a 为三角模糊数，对∀λ ∈(0，1)，a的截集aλ为有界闭区间［(am-al)λ+al，(am-an)λ+an］。

3 导弹武器系统可用度分析模型

在导弹武器系统的可用度研究中，大多数文献考虑的系统都是假定部件故障后立即得到修理。但实际情况并非如此，而是常常有一段随机的等待时间(称这段时间为保障延误时间)，例如申请等待备件等。而且在现实战场环境下，敌方主要打击的目标是导弹技术测试阵地，对技术阵地的打击会损毁技术阵地的测试和维修设备(包括测试中的导弹)，使其部分战损，需要对其进行更换(或修理)后再工作，这都将影响到导弹技术测试、对接任务的进行，使技术阵地不能及时提供装配好的导弹供作战使用。因此，在系统可用度分析中，考虑技术阵地测试设备部分战损和保障延误的可修系统十分必要，而且更有重要的理论意义和实用价值［13-14］。

3.1 模型构建步骤

1)明确系统组成。设系统为由n 个分系统串联而成的可修系统;

2)确定随机模糊变量。时间分布未知的分系统和修理设备，要通过专家的知识与经验来描述其分布类型和参数情况，这些量即为模糊变量;

3)建立基于马尔可夫更新过程的可用度模型，得出可用度的解析模型(本章下面两小节主要对这方面进行研究)。

4)运用三角模糊数估算可用度水平。将随机模糊变量用三角模糊数来表示，根据随机模糊相关定理，估算其α-悲观值和α-乐观值，再根据定义3 求解其稳态可用度。

3.2 基本条件和假设

1)系统的第i 个部件寿命Xi服从指数分布Fi(t)=1-e-λit，t ≥0，λi＞0;

2)系统发生故障，如果不能及时得到维修，视为不可用状态，产生的保障延误时间Wi服从一般分布Hi(t)，其平均保障延误时间为

3)进行故障维修时，修理时间Yi服从一般的分布Gi(t)，其平均修理时间为

修复后系统立即转为工作状态;

4)当1 个部件故障等待修理或者正在修理时，其他部件停止工作，不再发生故障，此时系统处于故障状态。部件修理完恢复如新，由指数分布的性质，知道在同一时刻不会有多个部件故障;

5)技术阵地修理设备在执行任务过程中，会因部分战损而出现失效，其服务期U 服从指数分布U(t)=1-e-αt，t ≥0，α ＞0，修理设备失效后立即进行更换，其更换时间V 统一服从一般分布V(t)，且平均更换时间为，修理设备更换如新;

6)Xi，Yi，Wi，U，V 相互独立。

3.3 构建系统可用度模型

定义系统的广义修理时间γ 为:在导弹技术阵地，测试和修理设备从开始测试和修理故障系统的时刻起，直到该部件技术准备完成的时间长度，其中包括测试与修理设备可能的战损而对测试和修理设备进行更换的时间。令，则

其LS 变换和平均广义修理时间为

A(t)=P{X(t)=1 | X(0)=1}。

若令τk，δk，γk分别表示系统的第k 个工作寿命、第k 个保障延误时间和第k 个广义修理时间，不难证明，{τk+δk+γk，k=1，2，…}是个更新过程。其分布函数为

对式(6)2 端作LS(Laplace-Stieltjes)变换得

式(8)右端第1 项中，当t ＜Xj时，时刻t 系 统必处于工作状态，自然有X(t)=1;第2 项中，当Xj≤t ≤Xj+Wj+γj，即系统处于修理状态，不可能与X(t)=1 同时发生，故第2 项为0;第3 项如下式推导所示。

从而

4 算例分析

假设某型导弹武器系统由n 个分系统串联而成，通过可靠性分析，建立系统可靠性框图如图1所示。

图1 系统可靠性框图Fig.1 Reliablity block diagram of system

根据已有的实验和专家经验确定，其分系统和测试设备寿命服从指数分布，保障延误时间和维修时间服从一般分布，应用三角模糊数来评定其随机模糊参数如表1所示。

表1 不确定参数的三角模糊表示Tab.1 The uncertain parameters of triangular fuzzy representation

根据三角模糊数的相关定理，可以得出如下不同参数的α-悲观值和α-乐观值(此处用x 表示α):

其中x ∈(0，1］。

根据定义2 可知，可用度的悲观值和乐观值可分别表示为

由定义3 可得出

由算例分析结果可知，系统的可用度为0.5811，如果不考虑测试和维修设备故障问题，则β=0，系统的可用度为0.618 0，与经过前期MC 仿真得到的0.592 3 比较接近。结果表明，所建模型能够很好地反映装备实际组成和运行情况，该模型和算法适用于导弹武器系统可用度的分析。

5 结 语

本文在随机模糊参数的背景下，研究了导弹武器系统可用度评估模型，通过分析可得到如下结论:

1)建立的马尔可夫更新过程模型考虑到技术阵地设备部分战损和保障延误时间等因素，符合实际使用维修和作战要求。

2)所建可用度模型中存在模糊因素，引入随机模糊理论，采用三角模糊数量化模糊信息(分布类型和参数)能合理、有效地解决这一问题。

3)为复杂的导弹武器系统可用度研究提供了一条技术途径，对改进武器系统，制导武器系统的维护和管理有促进作用。

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