数学的分类讨论思想

李立文

【摘 要】在解题过程中碰到一方面解析不了的问题时，我们就从多方面去讨论问题了，这就是我们所说的分类讨论思想。分类讨论题型多变，但熟练掌握了基本初等函数、数列、立体几何、概率、直线、圆锥曲线等的性质及导数的应用和常见不等式的解法，为我们解需要分类讨论的综合题提供了知识依托和解题思路，从而提高解此类题的速度和正确率，为考试赢得时间和分数，最终取得考试的胜利。

【关键词】中学数学 解题分析

一直以来高考很重视对考生各科能力的考查，数学也不例外，掌握一定的解题思想和方法因此尤显重要，好的解题方法对整个考试成败起到至关重要的作用。数学中解题的方法很多，但常用的思想和方法必须掌握，例如分类讨论、数形结合、转化与化归等，会经常用到。今天就分类讨论思想的一些想法与大家交流与探索，抛砖引玉。

一 分类讨论的原则

（1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的；

分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论，即认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论，只有明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义，考虑问题要全面.函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判别式等等，常常是分类讨论划分的依据.

（2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.

当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的每一类分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法.

二 分类讨论的一般步骤

第一，明确讨论对象，确定对象的范围；

第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；

第三，逐类讨论，获得阶段性结果；

第四，归纳总结，得出结论.

三 分类讨论应注意的问题

第一，按主元分类的结果应求并集.

第二，按参数分类的结果要分类给出.

第三，分类讨论是一种重要的解题策略，但这种分类讨论的方法有时比较繁杂，若有可能，应尽量避免分类.

四 分类讨论的常见情形

（1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.

（2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）由a的正负而导致开口方向不确定，等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.

（3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax2+bx+c>0，a<0，a>0解法是不同的。

（4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的位置关系等.

（5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见.

（6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数的数学问题中，参变量的不同取值，使得变形受限导致不同的结果。

五 高考中较难的几类分类讨论题型

对于常见的含参数基本初等函数及不等式等的分类讨论这里就不再一一举例说明了，下面着重探讨一下高考中较难的几个考点的分类讨论题型（主要是高考的倒数1、2、3、解答题，即压轴性题型）。

类型一：非基本初等函数中的分类讨论

例题1、已知函数f（x）=λx2+λx，g（x）=λx+1nx，h（x）+g（x），其中λ∈R，且λ≠0。

（1）当λ=-1时，求函数g（x）的最大值

（2）求函数h（x）的单调区间

（3）设函数φ（x）=若对任意给定的非零实数x，存在非零实数t（t≠x），使得φ（x）=φ`（t）成立，求实数λ的取值范围.

思路点拨：（2）中由于参数λ的存在，必须讨论λ取值不同时的h`（x）>0和h`（x）<0情况。（3）由于是分段函数，故要对自变量x进行分类讨论。

解：⑴当时，g（x）=1nx-x，（x>0）g∴g`（x）-1=，（x>0）

令g`（x）=0，则x=1，∴g（x）=1nx-x在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减g（x）msx=g（1）=-1

（2）h（x）=λx2+2λx+1nx，h`（x）2λx+2λ+=

，（x>0）

∴当λ>0时，h`（x）>0，∴函数h（x）的增区间为（1，+∞），

当λ<0时，h`（x）=，

当时，h`（x）<0，函数h（x）是减函数；

当时，h`（x）>0，函数h（x）是增函数。

综上得，

当λ>0时，h（x）的增区间为（0，+∞）；

当λ<0时，h（x）的增区间为（0，），减区

间为（，∞）

⑶当x>0，φ`（x）=λ+在（0，+∞）上是减函数，此时φ`（x）的取值集合A=（λ，+∞）；

当x<0时，φ`（x）=2λ+λ，

若λ>0时，φ`（x）在（-∞，0）上是增函数，此时φ`（x）的取值集合B=（λ，+∞）；

若λ<0时，φ`（x）在（-∞，0）上是减函数，此时φ`（x）的取值集合B=（λ，+∞）。

对任意给定的非零实数x，

①当x>0时，∵φ`（x）在（0+∞）上是减函数，则在（0+∞）上不存在实数t（t≠x），使得φ`（x）=φ`（t），则t∈（-∞，0），要在（-∞，0）上存在非零实数t（t≠x），使得φ`（x）=φ`（t）成立，必定有A∈B，∴λ<0；

②当x<0时，φ`（x）=2λx+λ在（-∞，0）时是单调函数，则t∈（∞，+0），要在（0，+∞）上存在非零实数t（t≠x），使得φ`（x）=φ`（t）成立，必定有B∈A，∴λ<0。

综上得，实数 的取值范围为（-∞，0）。

总结升华：利用导数求函数的极大（小）值，求函数在连续区间[a，b]上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点，熟练掌握导数的应用是解此类题的关键。

对于非基本初等函数而言，若含参数时求单调区间、求最值、恒成立求取值范围等，一般用导数来研究的。对参数讨论时，其标准是看导数是否能恒大于零或者恒小于零，或者看导数等于零的根是否属于定义域分情况讨论；对于分段函数求最值问题时，要对每段进行讨论，然后总结出结论。对于基本初等函数，分类讨论时不必用导数来研究，掌握基本初等函数本身性质即可。

类型二：含参数数列的分类讨论

例题2、对于给定数列，如果存在实常数p，q，使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立，我们称数列是“M类数列”.

（I）若an=2n，bn=3·2n，n∈N*，数列、是否为“M类数列”？

若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；

（II）若数列满足a1=2，an+an+1=3t·2n（n∈N*），t为常数.

（1） 求数列前2009项的和；

（2） 是否存在实数t，使得数列是“M类数列”，如果存在，求出t；如果不存在，说明理由.

思路点拨：此题是以数列为背景的情境模式题，理解题目给出的概念和性质是解题的关键。同时（II）中的（2）小题是探索性问题，常常会对参数进行分类说明。

解：（I）因为an=2n则有an+1=an+1，n∈N*

故数列是“M类数列”，对应的实常数分别为1，2

因为bn=3·2n，则有bn+1=2bn，n∈N*

故数列是“M类数列”，对应的实常数分别为2，0

（II）（1）因为an+an+1=3t·2n（n∈N*）则有a2+a3=3t·22，a4+a5=3t·24，a2006+a2007=3t·22006，a2008+a2009=3t·22008

故数列前M项的和

S2009=a1+（a2+a3）+（a4+a4）+……+（a2006+a2007）+（a2008+a2009）

=2+3t·22+3t·24+……+3t·22006+3t·22008=2+t（22010-4）

若数列是“M类数列”，则存在实常数

使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立，且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立，因此（an+1+a n+2）=p（an+a n+1）+2q对于任意n∈N*都成立，而an+a n+1=3t·2n（n∈N*），且a n+1+a n+2=3t·2 n+1（n∈N*）则有3t·2 n+1=3t·p2n+2q对于任意n∈N*都成立，可以得到t（p-2）=0，q=0

①当p=2，q=0时，a n+1=2an，an=2n，t=1，经检验满足条件.

②当t=0，q=0时，a n+1=-an，a n=2（-1）n-1，p=-1经检验满足条件.

因此当且仅当t=1或t=0，时，数列也是“M类数列”.对应的实常数分别为2，O或-1，0

总结升华：纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.

对于数列本身而言，有时要对奇数项和偶数项进行讨论，等比数列的公比q=1和q≠1讨论，对第一项和第一项以后的项讨论；对于含参数的数列而言，在求出参数值时，要对所有可能取值讨论；对于探索存在性的数列而言，有时根据题目给定的条件从多方面考虑它的存在性，尽管有些情况不存在，但也要去探索，这样解题才算完整。

类型三：解析几何问题的分类讨论

例题3、已知向量

.

（Ⅰ）求点Q（x，y）的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设曲线C与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，又点A（0，-1），当=时，求实数m的取值范围。

思路点拨：此题以平面向量为载体得出轨迹方程；（Ⅱ）中先是由直线与圆锥曲线的位置关系得到 与 的整体关系式，再通过讨论直线中的参数 的取值（当斜率存在时一般讨论斜率k=0和k≠0）进而得出 的取值范围。

解：（Ⅰ），，，所以，

即，化简得，

所以Q点的轨迹C的方程为

（II）由得

，

由于直线与椭圆有两个不同的交点，，即①

（1）当k≠0时，设弦MN的中点为p（xp，yp），xM、xN

分别为点M、N的横坐标，则

又②.

将②代入①得2m>m2，解得0

0，解得m>

故所求的m取值范围是（，2）

（2）当k=0时，=，∴AP⊥MN，m2<3k2+1，解得-1

所以当k≠0时，m的取值范围是（，2）

当k=0时，m的取值范围是（-1，1）。

总结升华：圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系是高考的热点、重点和难点所在；加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习此处一直为高考的热点这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决

当碰到含参数的曲线或直线时，要利用数形结合思想找到符合条件的多种情况的解，针对每种情况要做具体的讨论方能解答完整。一般讨论角度为：（1）直线的斜率存在与不存在；斜率存在时要分斜率等于零和不等于零；这两种可归结为特殊直线（垂直于坐标轴的直线）和非特殊直线。（2）含参数的圆锥曲线的探索存在性问题要对参数取不同值时所表示的不同轨迹所具有的性质进行讨论（椭圆的性质，双曲线的性质，抛物线的性质）