平方差公式与完全平方公式的一场争论

赵国瑞

在整式乘法的王国有两兄弟：平方差公式和完全平方公式.一天，两人闲来无事聚到一起，突然冒出了一起行走江湖的念头.两人谈得很兴奋，但到最后却为谁来做“老大”发生了争执.两人互不相让，各执一词，都认为自己做“老大”是理所当然的.他们争得面红耳赤，不可开交.最后没办法，只好去找乘法公式大伯来评判.大伯听明白两人的来意后皱了皱眉头，大声说道：“既然你们都认为自己该做‘老大，那么你们分别说说自己有什么过人之处吧.”

平方差公式首先站起来说道：“我的形象好呀，你看，我的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，右边是完全相同项的平方减去符号相反项的平方.”

完全平方公式毫不示弱：“我的形象不比你逊色，我的左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中（首末）两项是公式左边二项式中的每一项的平方，中间一项是二项式中两项乘积的2倍.”

乘法公式大伯说：“别吵！别吵！光形象好还不够，要有真本事才行！”

平方差公式说：“这个我可不含糊，只要符合‘两数和与两数差相乘的形式，就可用我平方差公式解决.如计算（xy+1）（xy-1）直接运用平方差公式，得（xy+1）（xy-1）=（xy）2-12=x2y2-1.”

完全平方公式说：“只要符合‘两数和（或差）的平方的形式，就可用我完全平方公式搞定，如计算（4x-3y）2，直接运用完全平方公式，得（4x-3y）2=（4x）2-2·4x·3y+（3y）2=16x2-24xy+9y2.”

……

平方差公式与完全平方公式争论不休.

乘法公式大伯：“别争了，其实你们本是一家人，都可由公式（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq（*）得到.在公式（*）中，若令p=y，q=-y，就得到平方差公式（x+y）（x-y）=x2-y2；在公式（*）中，若令p=q=y，就得到两数和的平方公式（x+y）2=2x+2xy+y2，若令p=q=-y，就得到两数差的平方公式（x-y）2=x2-2xy+y2.

有些问题单独用你们两个公式都可以解决，如x+y=5，且x-y=1，则xy=_____.

解法1：由完全平方公式，得（x+y）2=x2+2xy+y2，（x-y）2=x2-2xy+y2.

∴（x+y）2-（x-y）2=4xy，即52-12=4xy.∴xy=6.

解法2：在平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2中，令a=x+y，b=x-y，得2x·2y=（x+y）2-（x-y）2，即4xy=52-12.∴xy=6.

有些问题需要你们两个公式合作才能解决，如计算[（x+2）（x-2）]2，先由平方差公式，得 （x2-22）2=（x2-4）2.再由完全平方公式，得（x2）2-2·x2·4+42=x4-82+16.

再如计算：（2x+y+z）（2x-y-z），先由平方差公式，得[（2x+（y+z）][（2x）-（y+z）]=（2x）2-（y+z）2.再由完全平方公式，得4x2-（y2+2yz+z2）=4x2-y2-2yz-z2.

乘法公式大伯接着说道：“你们两个都有各自的特点，是乘法公式的重要组成部分，你们应该取长补短，齐心协力为数学王国作贡献，我劝你们不要再争什么‘老大了！”

平方差公式和完全平方公式深深地向乘法公式鞠了一躬，齐声说道：“谢谢大伯的点拨！”两兄弟握手言和，重归于好，各自充满信心地朝着自己的工作岗位走去……