《常微分方程》绪论课的教学探讨

王居凤

摘 要：常微分方程是数学分析的一个分支，是数学知识与应用密切相关的基础科学。就如何上好绪论课做些探讨。

关键词：常微分方程；发展史；内容；意义

《常微分方程》是高等院校数学类的必修课，学好这门课可为学习其他数学理论，例如，线性系统理论、泛函分析等课程打下基础；绪论课对学生有引导作用，本文从三个方面探讨如何上好绪论课。

一、介绍常微分方程的发展史

常微分方程指的是自变量只有一个的微分方程，“微分方程”这个词是莱布尼茨在1676年提出的，常微分方程经历了求解、解析理论、定性理论与稳定性理论的过程。1743年欧拉给出了通解与特解的概念，1718年泰勒提出奇解的概念，19世纪20年代，法国柯西给出了柯西问题解的存在唯一性定理。1873年，德国数学家李普希兹对柯西的存在唯一性定理做了改进。19世纪，希尔研究了周期系统方程，庞加莱开创了微分方程定性理论研究。1892年李雅普诺夫在博士论文中给出了基于能量函数上的系统稳定性理论。

二、介绍常微分方程的内容

客观世界的各种量与量之间的关系，常常满足常微分方程，

因而对这些量的研究转化为对应的用常微分方程描述的数学模型的研究。举实际例子来说明建立微分方程模型的过程。比如：数学摆、马尔萨斯人口模型、生物种群被捕食—捕食模型、物理冷却过程的数学模型，并举历史上非常有名的一个模型“Lorenz系统”，这是美国数学家和气象学家洛伦茨建立的，他在研究气象时，从

一个旋转水桶得到灵感，建立了一个气象模型，该模型包含三个变量a、b、和c。而c的取值决定了系统状态的性质，系统随c的变化可能是收敛，也可能是混沌的。当系统收敛时，系统的曲线感觉像是被一个点逐渐吸引过去，当系统混沌时，状态曲线围绕着两个固定点不断地变化着，感觉像展开翅膀的蝴蝶。在这里用图片展示Lorenz系统各种曲线图形。让学生感受到曲线的神奇与美丽。通过建模让学生体会到这门课研究的常微分方程来源于生活，是有现实意义的。建模后再介绍教材每章的内容。

三、研究常微分方程的意义

常微分方程在很多科学领域都有应用，例如，天文学、力学、物理、航天、生物等。举几个具体的例子，如：牛顿通过微分方程发现了行星运动规律。勒维烈与亚当斯利用微分方程计算出海王星的位置，洛伦茨从“Lorenz系统”发现这系统对初始值高度敏感。初始状态（例如湿度、温度、风速）的微小差异会对后面的状态影响非常大。后来人们称这种现象为“蝴蝶效应”。洛伦兹提出：“巴西热带雨林的一只蝴蝶偶然拍动一下翅膀，几星期后可以在美国德克萨斯州引起一场龙卷风。”由于测量值与真实值有误差，这样误差局部会影响到全局。所以，从这样的分析角度来看，长期准确预报天气是不可能做到的。

上好绪论课，引导学生积极地学习《常微分方程》，掌握常微分方程的理论和方法，为他们培养《常微分方程》学习兴趣，做个好个开端。

参考文献：

王高雄，周之铭，王寿松.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006.

（作者单位 中国计量学院数学系）