超几何分布及其推广

燕建梁

（山西大学 商务学院，山西 太原030031）

除了二项分布、泊松分布这两个重要的离散型分布以外，超几何分布也很常用，一般教材有的只给出相关的具体例题，没提到分布名称，有的提到超几何分布的名称，但由于其复杂性，只给出概率分布表达式，本文对其做了进一步的研究，推广到多维超几何分布，并得出结果:二维超几何分布的边缘分布、条件分布、和分布都服从一维超几何分布.

在实际中，我们经常研究这样的问题:有一批产品N个，其中有废品M个，从中任意取n个，问其中恰有m个废品的概率，为了研究其废品数的概率的一般规律，我们引入超几何分布的概念.

1 定义

设随机变量X的概率分布为k＝d，d＋1，…，r其中d＝max（0，n＋M－N），r＝min（n，M）

则称随机变量X服从参数为n，N，M的超几何分布，记为X～h（n，N，M）.

显然有:P（X＝k）≥0，利用组合等式，可得，（1）满足概率分布的两个条件.由于概率分布的表达式与“超几何函数”的级数展开的系数有关[1]，故称之为超几何分布.超几何分布可作为描述将研究对象分成两类，作不放回抽样，其中恰有某一类对象个数的数学模型.

2 数学期望与方差

定理1 当X～h（n，N，M）时，

证明 1）EX＝

3 最可能出现次数

使（1）式取得最大值的k，称为最可能成功次数，记为:m.

由此得:

定理2 当是整数时，P（X＝m），P（X＝m－1）同时达到最大值；而不是整数，取其整数部分为m，P（X＝m）为最大值.

4 超几何分布的二项近似

当抽取的个数n远远小于总数N时，每次抽取后，其不合格品的其概率变化改变很小，即不放回与放回差别不大，不难证明，n固定，N无限增大时，有下面结论:

定理3

另一方面，二项分布的期望EX＝np与超几何分布的期望形式上完全一致，二项分布的方差DX＝npq与超几何分布的方差也只相差一个因子，这从另一个角度说明了:超几何分布的极限是二项分布，在实际应用时，只要N≥10n，就可用二项分布近似计算超几何分布的有关问题.

5 多维超几何分布

作为超几何分布的推广，将研究对象由两种情况变为三种或三种以上，就得到多维超几何分布.可以这样描述:袋里有N只球，其中有Ni只i号球，i＝1，2，…，r，，从中任取n只球，其中有你ni只i号球，i＝1，2，…，r，n，则

其中0≤ni≤Ni（i＝1，2，…，r），0≤n≤N.

特别地，两个随机变量X1与X2的联合分布律为

其中0≤i≤N1，0≤j≤N2，0≤n≤N称X1与X2服从二维超几何分布.它可以描述:有N个产品，其中一等品、二等品分别有N1，N2个，从中无放回的任取n个，X1与X2表示一等品、二等品的件数.

其边缘分布为:

服从参数为n，N，N1的超几何分布

服从参数为n，N，N2的超几何分布.其条件分布

服从参数为n－j，N－N2，N1的超几何分布.

服从参数为n－i，N－N1，N2的超几何分布.其和分布

服从参数为n，N，N1＋N2的超几何分布.

[1]陈希孺.概率论与数理统计[M].合肥:中国科学技术大学出版社，1992:52

[2]茆诗松.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社，2004:98