离散时延系统的鲁棒稳定性和镇定问题

李 薇

（山西职业技术学院，山西 太原030006）

0 引言

切换系统是混合系统的一个子类，在过去的几年中已经引起了极大的关注.切换系统是一族由连续或离散动力学描述的子系统和一个描述连续动力学和离散动力学之间切换的一个规则组成的.例如文[1]中搅拌油箱反应器，文[2]中的风速涡轮调节器.研究目的是寻找一个不含保守性或较小保守性的条件来保证在任意切换信号下切换系统的稳定性.文[2]中提出一个切换二次李亚普诺夫函数（SQLF）方法，把针对多处发生不确定的系统的多二次稳定性技术应用到一类离散时间切换控制问题中.因为SQLF要求相邻两个子系统是递减的，所以被认为是在那些保守性方法（利用单个李亚普诺夫函数）和其他一些方法（在数值上很难证明）的一个折衷方案[3].在本文中研究带有时延和参数不确定切换线性离散时延系统的鲁棒稳定性和镇定问题.参数不确定性是时变的但是范数有界的，并且假设时延是时变的和有界的，这包含了常数时延和模型依赖常数时延这些特殊情形.针对相关的系统通过构造一个SQLF得到鲁棒稳定性条件.这个条件依赖于上时延界和下时延界.这个稳定性判据能够利用线性矩阵不等式（LMI）来表示并且可以利用标准的数值软件很容易地检验.基于这一点，鲁棒镇定性问题可以通过设计一组所谓的时延或无记忆状态反馈控制器来解决.这些控制器根据系统模型进行切换.因为所得到的期望控制器的存在条件不是一个严格的LMI，所以利用锥补线性化算法来获得控制器和一个次优时延上界.对所有容许不确定性这个时延上界使得所研究的切换系统是稳定的.

1 问题公式化和预备知识

考虑一类带有时变时延线性离散时间切换系统的状态方程如下:

其中x（k）∈Rn是状态向量；u（k）∈Rl是控制输入；｛Φ（k），k＝－dM，－dM＋1，…，0｝是给定的初始条件序列；i是i（k）的简要表示，是时间的一个分段常函数，称为一个切换信号，在有限集I＝｛1，…，s｝中取值，s＞1是子系统的数目.在任意离散时刻k切换信号i依赖于k或x（k），或者都依赖，或者依赖于其他切换规则；对每个i∈I，Ai，Adi，Bi代表了名义系统，且Ai，Adi，Bi是已知适当维数的实常数矩阵.ΔAi（k），ΔAdi（k），ΔBi（k）是实值时变矩阵函数，它们代表了时变泛数有界参数不确定性.

本文的目标是针对相应的不确定切换系统（1）得到鲁棒稳定性条件并设计一个镇定的状态反馈控制器.假设控制器有如下的形式

其中当K2i＝0时，稳定的控制器可能被称为无记忆状态反馈控制器（SMSFC），K2i≠0时控制器可能被称为切换时延状态反馈控制器（SDSFC）.

引理1[4]假设，那么对于任何矩阵满足，下面的不等式成立

引理2[5]对于给定的适当维数的矩阵ψ1，ψ2，ψ3，且＝ψ1.那么

对所有的W（k）成立，且满足WT（k）W（k）≤I，当且仅当对一些ε＞0有

2 对名义系统的稳定性和镇定问题

在本节中我们首先考虑名义切换系统，形式如下:

下面的定理给出了系统（4）的一个充分条件.

定理1 不受外力∀i∈I的系统（4）即u（k）≡0时是渐近稳定的如果存在n×n矩阵Pi＞0，Xi＞0，Yi，∀i∈I，Q＞0，R＞0使得下面的LMI对∀（i，j）∈I×I成立

其中Λij＝－Pi＋dMXj＋Yj＋YTj＋（dM－dm＋1）Q.

证明 略.

定理2 考虑（4）中的切换系统.一个形如（3）式的稳定的状态反馈控制器存在如果存在n×n矩阵Ji＞0，Pi＞0，Xi＞0，Yi，∀i∈I，Q＞0，R＞0，Z＞0和l×n矩阵K1i和K2i使得（6）和下面的条件成立

其中Λij和定理1中的一样.

证明 考虑带有控制器（3）的相应闭环系统，把（5）式中的Ai和Adi分别用Ai＋BiK1i和Adi＋BiK2i代替.利用diag｛P－1j，R－1，I，I｝变换为和（5）式有一致的形式，我们有

那么通过定义Ji＝P－1i，Z＝R－1就可以获得所要得到的结果.

尽管我们不总是能找到全局最优解，但是所提的非线性最小值问题比最初的非凸可行性问题更容易一些.算法如下:

算法SSC（解决一个稳定控制器）

Step 1 寻找一个可行集（Pi，Ji，Xi，Yi，K1i，K2i，R，Q，Z，∀i∈I）0满足（6），（7）.令k＝0.

Step 2 解决下面的LMI问题

Step 3 把所获的矩阵变量（Pi，Ji，Xi，Yi，K1i，K2i，R，Q，Z，∀i∈I）代入（9）.如果条件（9）对一些充分小的标量δ满足那么输出的可行解（Pi，Ji，Xi，Yi，K1i，K2i，R，Q，Z，∀i∈I）存在，否则跳到Step 4.

Step 4 如果k＞N存在，其中n是迭代所允许的最大值1否则跳到Step 5.

Step 5 令k＝k＋1，（Pi，Ji，Xi，Yi，K1i，K2i，R，Q，Z，∀i∈I）k＝（Pi，Ji，Xi，Yi，K1i，K2i，R，Q，Z，∀i∈I），继续Step 2.

上述所设计算法的目的是针对已知的dm和dM寻找期望控制器的一个可行解，那么基于这一点，当我们增加一个离线输出步骤时对于已知的dm也能够找到次优最大时延界dM.

3 不确定切换系统的鲁棒稳定性和镇定问题

3.1 鲁棒稳定性

下面的定理提出了不确定切换系统（1）在u（k）＝0时的鲁棒稳定性条件.

定理3 在（1）、（2）中不受外力的系统（1）当u（k）＝0时是鲁棒渐近稳定的如果存在n×n矩阵Pi＞0，Xi＞0，Yi，∀i∈I，Q＞0，Z＞0和标量εi＞0满足（6）和下面的LMI

其中Λij和定理1中定义的一样.

证明 把（5）中的Ai和Adi分别用A＋GiΔi（k）F1i和Adi＋GiΔi（k）F2i来代替.找到和引理2中对应的变量如下:

如果（6）和下面的不等式成立，我们可以很容易地得出结论.不等式如下:那么相应的系统是鲁棒渐近稳定的.利用Schur补引理，由（11）式可得（10）式，定理证明完毕.

3.2 鲁棒镇定问题

不确定切换系统（1）镇定的状态反馈控制器的存在条件描述如下:

定理4 考虑（1）、（2）的不确定切换系统（1）.一个形如（3）式的鲁棒镇定状态反馈控制器存在如果存在矩阵Ji＞0，Pi＞0，Xi＞0，Yi，∀i∈I，Q＞0，R＞0，Z＞0，1×n矩阵K1i和K2i和标量εi＞0满足（6），（8）和下面的不等式

其中Λij和定理1中的一样.

证明 利用证明定理2和3中所提供的技术来证明这个结论.

4 说明例子

在这一节中我们用一个数值例子来证明所获理论结果的适用性.

考虑（1）和（2）中的不确定切换系统由两个子系统组成.对于子系统（1），系统动力学被描述为:

对于子系统（2），系统动力学被描述为:

假设切换信号是由下面的算法随机产生的.算法如下:

算法GSS（产生切换信号）:

对于采样T＝1到时长

切换值＝rand

如果切换值≥Con

切换信号（采样T）＝2

否则

切换信号（采样T）＝1；

结束

其中工作表函数产生随机数，它们均匀分布在间隔（0，1）.

那么在这个例子假设算法GSS的时长＝100，Con＝0.6切换信号能够通过Matlab来实现，图1显示了一种可能的情形.

首先我们检验u（k）≡0时不确定切换系统的鲁棒稳定性.假设时变时延d（k）的最小界dm＝2，那么利用定理3，我们找到dM＝5，这意味着上述系统对于2≤d（k）≤5是渐近稳定的.

图1 切换信号

进一步基于定理4的条件和算法SSC，选择ε1＝ε2＝0.1，我们分别利用SMSFC和SDSFC获得最大时延界dM＝7和dM＝12.这意味这在评价系统中应用这样的控制器时允许的时延是增加的.此外证明了SDSFC有更好的性能.同时获得SMSFC和SDSFC的控制器增益如表1所示，相应地获得时延界dM＝7和dM＝12.

当SMSFCdM＝7时，k11＝ [0. 0 38 5 －0.800 9]；k12＝ [－ 0 .293 2 0.862 9]

d2i＝[00]，∀i＝1，2

当SDSFCdM＝12时，k11＝ [0. 0 65 2 －0.800 0]；k12＝ [－ 0 .230 7 1.074 0]

k21＝ [0. 1 14 3 0.084 8]；k22＝ [－ 0 .191 7 －0.062 0].

另外，应用SMSFC和SDSFC我们分别假设时延变量在2≤d（k）≤7和2≤d（k）≤12中随机地变化.对于初始条件x[ ]＝ －0.5 0.3T我们获得相应闭环系统的控制轨迹和状态相应分别如图2和图3所示.从曲线中可以很明显地看到在随机产生的切换信号下和变化的不确定参数下切换系统是鲁棒稳定的.

图2 两个不同控制器下的控制轨迹

图3 两个不同控制器下闭环系统的状态相应

5 结论

在本文，研究了带有有界时变时延和泛数有界时变不确定切换线性离散时间系统的鲁棒稳定性和镇定问题.针对相应的系统构造了一个切换二次李亚普诺夫函数并利用LMI公式得到依赖时延界的鲁棒稳定性判据，这个判据能够利用标准的数字软件很容易检验.此外，鲁棒镇定问题也可以通过设计一组所谓的切换时延或无记忆状态反馈控制器来解决.利用锥补线性化算法来获得控制器和次优上界时延使得相应的系统对所有允许的不确定能够稳定.介绍了一个数值例子来说明所提方法的有效性.

[1]Nael H El－Farra，Prashant Mhaskar，Panagiotis D Christofides.Output feedback control of switched nonlinear systems using multiple Lyapunov functions[J].Systems ＆ Control Letters，2005，54（12）:1 163－1 182

[2]Leithd J，Shortenr N，Leitheadw E，et al.Issues in the design of switched linear control systems[J].Int.J.Adapt.Control Signal Process，2003，17（2）:103－118

[3]Daafouzj，Riedingerp，Iungc.Stability analysis and control synthesis for switched systems[J].Automatic Control，2002，4（11）:1 883－1 887

[4]Monny S，Parkp，Kwonw H，et al.Delay－dependent robust stabilization of uncertain state－delaye dsystems[J].International Journal of Control，2001，74（14）:1 447－1 455

[5]Xiel，Fum，Desouzac.E.H∞control and quadratic stabilization of systems with parameter uncertainty via output feedback[J].Automatic Control，1992，37:1 253－1 256