Logistic模型改进及山西人口预测

张 荔

（晋中师范高等专科学校 数学系，山西 晋中030600）

1 问题分析

认识人口数量的变化规律建立人口模型，做出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.二百多年前英国人口学家Malthus建立了著名的人口指数增长模型.该模型是建立在人口增长率不变的假设的基础上，但是人口增长到一定数量后由于受到自然资源、环境条件的影响增长率是会下降的，因此人们对Malthus模型作了改进，得到了Logistic模型.该模型对r（x）作了一个简单的假定，设r（x）为x的线性函数，即r（x）＝r－sx（r＞0，s＞0）[1].

就我国现阶段而言由于实行计划生育，人口增长率已经很低，显然Logistic模型中r（x）为x的简单线性函数已很难准确预测未来人口.本文对r（x）与x的关系进一步改进，得到了一个新的模型，并对根据1990年到2010年山西人口的数据[2]对山西人口进行了预测.

2 模型假设

1）现有的计划生育政策不变.

2）不考虑人口负增长.

3）人口增长已达到一定的高度，增长率逐渐减小最终将趋于0.

3 模型建立

由假设3），r（x）应表示为e－x的函数，设r（x）＝r（x0）ea－bx，r（x0）为人口总量为x0那一年的增长率.

因此改进后的模型为:

表1 山西人口统计表

4 模型求解

1）用线性最小二乘法对a，b进行参数估计.

对r（x）＝r（x0）ea－bx两边取对数，可得

用表1的数据拟合（1）式（删去1996年异常数据），用EXCEL求解可得c＝－0.000 43，d＝4.784 341.

进一步求得a＝10.231，b＝0.000 43.

r（x0）为1991年的人口增长率，由1990年的人口可求得

基于山西人口数据拟合的参数，人口增长模型为

该方程不易求解.

2）将模型转化为差分方程x（T＋1）－x（T）＝r（x（T））x（T），T＝0，1，2，3，…

则x（T＋1）＝x（T）＋r（x（T））x（T），T＝0，1，2，3，…用已知的数据进行递推可达到人口预测的目的.得到表2和图1.

表2 改进的模型拟合山西人口数据的结果

图1 改进的模型拟合图形（以1990年为起点）

可以看出这个模型拟合效果不错.

5 模型检验

以2010年为例，误差为0.5%.可以求得其他年误差更小（1996年除外）.

可以用以上数据继续推出2020年山西人口约为4 010万，2030年山西人口约为4 298万，2040年山西人口约为4 571万，2050年山西人口约为4 828万.

6 模型评价

本模型适合现阶段我国计划生育前提下人口预报，误差较小.

但只适用人口增长率大于0的情形，如果人口出现负增长则应再次进行模型改进.

[1]姜启源，谢金星，叶 俊.数学模型[M].北京:高等教育出版社，2003:12－15

[2]中国统计局.2012中国统计年鉴[M].北京:中国统计出版社