层状地基中单桩－桩帽－土共同作用等效剪切位移法

李 波，黄茂松

（1.长江科学院 水利部岩土力学与工程重点实验室，武汉 430010；2.同济大学 土木工程学院；岩土及地下工程教育部重点实验室，上海 200092）

如何解决工程中遇到的软基沉降变形问题已引起岩土工程界的普遍关注，特别是在中国东南沿海地区。传统的软土地基处理方法主要采用堆载、真空预压、塑料排水板、水泥搅拌桩、刚性桩、加筋等。但在交通荷载的反复作用下因循环累积变形而产生过大或不均匀沉降，极易导致上部结构破坏。以上海外环线以及与上海相连的江苏省多条高速公路为例［1］，桥头段平整度优良率均明显低于一般路段平整度优良率，尤以上海地区高速公路桥头跳车病害更为严重，上海外环线由于路基的不均匀沉降而引起路面结构破坏已历经3次大修。另外，高速铁路无碴轨道工后零沉降的苛刻要求致使已有的地基处理方法无法满足，目前被迫在深厚软土地基所采用“以桥代路”的方式无疑大大增大了建设成本。

加筋桩承式路堤在工程实践中历经引入加筋体［2－3］、设置桩帽［4］逐步优化得到，其地基加固效果得到显著提高，在软土地基能够满足有效控制沉降要求且施工速度快［5］，在国外已得到广泛应用，例如道路拓宽［6］、桥头地基支护［7］、机场跑道［8］，以及一些工业建筑［9］。而在国内同样开展了大量的现场试验研究，如李海芳等［10］、曹卫平等［11］、徐正中等［12］、费康等［13］。

带帽单桩的现场试验积累了一定的试验数据，同时试验结果表明在桩顶配置桩帽能明显增大桩体与垫层或路堤填土的接触面积，减少因桩土刚度差异大而造成的桩体向上的刺入量，增强地基加固效果。带帽桩作为一种新型的刚性桩基形式，其沉降变形、荷载传递等工程性状更为复杂，一般选取大面积荷载作用下具有代表性的带帽单桩进行分析，如王旭东等［14］、楼晓明等［15］、雷金波等［16］。但上述研究不适用于工程实践中经常遇到的层状地基。本文通过对桩帽下土体和桩帽外侧土体的受力特性不同而分别进行研究，建立了层状地基中带帽桩的等效剪切位移法，并分别讨论了桩与桩帽下土以及桩帽下土与桩帽外侧土体相互作用的非线性。

1 带帽单桩分析模型的建立

一般为方形，边长为B，此处利用面积等效转化为直径为dc＝2B／的圆形，桩帽厚度为tR；桩长和桩径为l和dp；桩和桩帽的弹性模量和泊松比分别为Eb和νb、Ep和νp，但对于刚性桩，二者一般采用同

图1所示为带帽单桩的计算模型，由于桩帽下土体s1与桩帽外侧土体s2的力学性状不完全相同，应分开进行考虑。假设轴向受荷带帽单桩置于层状地基中，每一层土体为均质土体，且第i层土体的弹性模量、泊松比以及厚度分别为Ei、νi和hi；桩帽种材料。用到的参数还有：桩帽面积Ac＝B×B，桩体横截面积Ap＝／4，桩帽下土体的面积As1＝Ac－Ap，桩体断面的周长Up＝πdp，桩帽下土体的外周长为Us1＝πdc。

如图2所示，分别选取单桩和桩帽下土体作为研究对象进行受力分析。假设Wc和σp分别为桩帽顶部平均沉降和平均应力，Wp（z）、Ws1（z）、Ws2（z）分别为桩体、桩帽下土体和桩帽外侧土体在深度z处的沉降，σpp（z）、σs1（z）、σs2（z）分别为桩体、桩帽下土体和桩帽外侧土体在深度z处的应力，Wpb、Ws1b分别为桩体、桩帽下土体在桩端深度处的沉降，σpb、σs1b分别为桩体和桩帽下土体在桩端深度处的应力，τ1（z）、τ2（z）分别为桩体与桩帽下土体交界面以及桩帽下土体与桩帽外侧土体交界面在深度z处的侧摩阻力。

图1 带帽单桩计算模型

图2 带帽单桩受力分析

2 位移和轴力的公式推导

首先选取桩体为研究对象，如图2（b）所示。采用剪切位移法［17］，桩身位移方程为：

在桩与土相互作用过程中，假设桩与土之间保持弹性接触，桩土之间不发生滑移，在某一深度z处桩身位移Wp和桩侧土位移Ws1相等，联立式（1）和式（2）可得：

取桩帽下土体的微段dz为研究对象，如图2（c）所示，可得桩帽下土体在竖直方向的平衡方程：

同时，桩帽下土体微段dz的顶部应力和竖向位移的关系为：

联立式（5）和式（6）可得桩帽下土体的控制微分方程：

假设桩与桩帽下土体不发生相对滑动，并且二者在深度z处的沉降总是相等，即Wp（z）＝Ws1（z），由式（1）和式（7）可得：

将式（8）代入式（7）可得桩帽下土体的位移控制方程为：

取桩帽外侧土体为研究对象，由剪切位移法［17］可得：

假设桩帽下土体与桩帽外侧土体在交界面处上不发生相对滑动，即二者位移相等，有Ws1（z）＝Ws2（z），由式（9）和式（10）可得：

求解微分方程（11）可得桩帽下土体的竖向应力和位移：

A、B为待定的积分常数，可由桩身边界条件确定。

将单桩按地基土层划分单元，单元厚度为hi，则i单元上端和下端的位移和轴力关系为：

其中：W 为位移；P为轴力；［ts1］i为传递矩阵，有：

假设桩帽下土体顶部的位移和轴力分别为Ws1（0）和 Ps1（0），端部的位移和轴力分别为Ws1（L）和Ps1（L），则二者的关系为：

同理，假设桩体顶部的位移和轴力分别为Wp（0）和Pp（0），则桩体i单元顶部与底部的位移和轴力有以下关系式：

其中，［tp1］i为桩体的传递矩阵：

桩体端部的位移和轴力分别为Wp（L）和Pp（L），则二者存在的关系为：

将桩端以下土体视为均匀弹性地基，则桩端的沉降与轴力关系为：

假设桩帽为刚性，并且忽略其变形，所以桩帽下的土体与桩体在其顶部的沉降相等，均等于桩帽顶部的沉降，可表示为：

桩帽在竖向方向的平衡条件有：

将式（27）分别代入式（19）、（27），与式（28）联立可得桩帽顶部的沉降：

其中，定义带帽单桩的整体刚度K＝ks1＋kp，柔度系数为f＝K－1。

将桩帽顶部位移代入式（27），可得桩体的沉降Wp（0）；再代入式（24），可得桩体顶部的轴力Pp（0）；再代入式（20），可得任意i单元的位移Wpi和轴力σpi；再代入式（2），可得桩身的侧摩阻力；利用式（8），可得桩帽下土体与桩帽外侧土体之间的侧摩阻力。

当桩帽顶部荷载超过一定水平时，桩与桩帽下土体之间、桩帽下土体与桩帽外侧土体之间会发生相对滑动，呈现非线性特征。当桩与桩帽下土体发生相对滑动时，假设带帽单桩i的摩阻力达到土的抗剪强度时，该单元进入塑性状态，且该单元的侧摩阻力保持不变。则桩段i的控制微分方程为：

求该方程可得到桩段i底部与顶部的位移和轴力关系式，写成增量的形式：

当桩帽下土体与桩外侧土体发生相对滑动时，由式（7）可得，桩帽下土体与桩帽外侧土体的侧摩阻力τ1（z）和桩与桩帽下土体的侧摩阻力τ2（z）之间的关系为τ1（z）＝τ2（z），有：

一般情况下，桩帽的等效直径为桩直径的3～5倍，则τ2（z）一般不超过极限摩阻力，所以此处不考虑桩帽下土体与桩外侧土体之间的相对滑动。

3 有关参数的确定

3.1 C1、C2、C3的确定

将单桩按地基土层划分单元后，相应的C1、C2、C3随每层的土层参数在变，则第i层的对应值为：

3.2 关于影响半径rm的取值

Mylonakis等［18］建议：

其中，χ1、χ2为考虑土体不均匀程度的经验系数，对于均质土体可取χ1χ2≈2.5；对于Gibson土可取χ1χ2≈1.0；l为桩长，v为土体泊松比。

而本文考虑带帽单桩的情况，桩帽的引入增大了受力面积，使得桩帽下土体与桩体共同承担上部的荷载作用，能够增大桩帽－桩的整体刚度；同时由式（7）中C1为大于1的数，即桩帽下土体与桩帽外侧土体在交界面处的摩擦力小于桩体与桩帽下土的摩阻力。因此，带帽单桩时的影响半径小于单桩时的情况，根据工程实践的经验，采用 Mylonakis和Gazetas［19］建议的rm取值表达式，取χ1χ2≈0.5。

3.3 桩端刚度的取值

Poulos和Davis［19］将桩端看作在均匀弹性地层表面上作用的刚性压块，桩端土体简化为弹簧其刚度可根据Boussinesq解积分求得，考虑桩端的刺入效应，建议桩端位移为：

Mylonakis等［18］考虑桩端距离基岩的深度对桩端的影响，得：

其中Eb、vb表示桩端土体的弹性模量、泊松比；hb表示桩端到基岩的深度；dp为桩直径。

本文考虑桩体和桩帽下土体的组合，取二者在端部刚度的平均值：

4 对比验证

基于上述层状地基中轴向荷载作用下带帽单桩的分析方法，编写了相应的程序。与有限元法和已有方法的计算结果以及模型试验的测试结果进行对比，验证本文方法和相应参数选择的合理性。

4.1 与有限元法对比

将本文方法与有限元法进行对比，主要考察带帽单桩的整体刚度P／（wEsdp）及桩帽的荷载分担比Pc／P随桩帽尺寸的变化规律。其中，P为桩帽顶部中心施加集中荷载，Pp为桩所分担的荷载，Pc为桩帽下土体所分担的荷载，Es为土体的弹性模量，w为桩帽的竖向位移，dp为桩的直径。建立的计算模型如图3所示，桩帽宽度B／dp的取值分别为1.5、2.8、5、8和12。其中材料参数分别为：桩弹性模量Ep＝30GPa，泊松比vp＝0.2；桩帽ER＝30 GPa，vR＝0.2；土层为层状地基，如表1所示。考虑其对称性取1／4模型，网格划分如图3所示，计算结果如图4所示。

表1 土层物理力学参数

图3 有限元网格划分

图4 有限元法和本文方法计算结果对比

图4（a）、（b）对比表明，本文方法与有限元法结果基本吻合，随着桩帽宽度的逐渐增大，带帽单桩整体刚度逐渐增大，同时桩帽的荷载分担比也逐渐增大。当桩帽宽度较小时，主要由单桩发挥支撑作用，桩帽的荷载分担比非常小；随着桩帽宽度的逐渐增大，桩帽和单桩共同发挥支撑作用，由于此时Pp和Pc在数值上相差不大，桩帽的荷载分担比缓慢地增大；当桩帽宽度大于某一数值时，Pc／P迅速增大，桩帽发挥主要的支撑作用。

4.2 与已有研究方法对比

Butterfield等［20］采用弹性理论法对带方形桩帽的单桩基础进行了分析。采用本文方法计算得出带帽单桩整体刚度P／（wEsdp）以及桩帽的荷载分担比Pc／P与Butterfield解的对比如图5所示。

图5 本文方法与Butterfield方法的对比

图5（a）、（b）表明，本文方法与Butterfield解基本吻合，得到一致的变化规律：随着长径比的增大，单桩土桩帽整体刚度逐渐增大并且趋于稳定值（l／d＝100时为24.5），桩帽的荷载分担比逐渐减小并趋于稳定值；并且桩长的增大不会无限增大带帽桩的整体刚度，同时桩帽始终贡献一定的荷载分担比例，在带帽桩的整体刚度满足承载力和沉降要求的前提下考虑经济效益可以确定最优的长径比。

采用本文方法进一步考察桩帽宽度对带帽单桩整体刚度P／（wEsdp）以及桩帽的荷载分担比Pc／P的影响，计算结果如表2所示。可以看出，当桩帽宽度比较小时，主要由单桩发挥支撑作用，桩帽的荷载分担比非常小；随着桩帽尺寸的增大，P／（wEsdp）和Pc／P均逐渐增大，并且当桩帽宽度大于某一数值时桩帽发挥主要的支撑作用。

表2 桩帽尺寸影响（l／dp＝30）

4.3 与模型试验对比

宰金珉等［21］自制2.00m×1.00m×1.50m模型槽，进行了单桩带帽与群桩的桩筏基础模型试验。其中，包括3组带帽单桩和1组单桩试验，桩长均为50cm，桩径为2cm，桩帽尺寸为8cm×8cm（带帽桩A）、12cm×12cm（带帽桩B）和18cm×18cm（带帽桩C）。地基采用粉土，此处取弹性模量为11.8MPa，泊松比为0.3。桩为刚性桩，假设弹性模量为20GPa，泊松比为0.2。本文方法与实测结果荷载位移（Qs）曲线的对比如图6所示。

图6 计算值与实测值的对比

5 结 论

本文提出了层状地基中带帽单桩等效剪切位移法，分别建立了桩和桩帽下土体的平衡微分方程，通过桩土界面的位移协调和发生相对滑动分别建立弹性和非线性分析方法。与有限元、已有分析方法以及模型试验的对比分析可知：

1）桩帽尺寸的增大明显能够增大带帽桩的整体刚度，桩帽所占的荷载分担比逐渐增大。但一定尺寸的桩帽下桩长的增大不会无限增大带帽桩的整体刚度，并且桩帽始终贡献一定的荷载分担比例。

2）带帽桩的非线性主要考虑桩土界面处的相对滑动，而桩帽下土体与桩帽外侧土体交界面处的侧摩阻力相对较小。与模型试验结果的对比验证了这种简化的可行性。带桩帽单桩的Qs曲线呈“缓降型”，随着桩帽尺寸的增大曲线更加趋缓，桩帽的荷载分担比更大。

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