半离散组合KdV-mKdV方程的全局吸引子研究

刘太涛 (西南大学数学与统计学院，重庆 400715)

半离散组合KdV-mKdV方程的全局吸引子研究

刘太涛 (西南大学数学与统计学院，重庆 400715)

引入Crank-Nicolson格式研究了在R1上具有周期边界条件的半离散组合KdV-mKdV方程解的长时间行为，证明了该方程在H3上紧的全局吸引子的存在。

组合KdV-mKdV方程；Crank-Nicolson格式；全局吸引子

笔者主要研究了在R1具有周期边界条件的组合KdV-mKdV方程：

ut+uux+u2ux+uxxx+λu=f

(1)

u(x,0)=u0(x)u(x+T)=u(x)

(2)

解的长时间行为。其中，λ>0是耗散参数，f∈L2(R)，是不依赖于时间的外力项函数。

KdV方程ut+αuxx+uxxx=0是很多非线性现象，其中包括等离子体中的离子声波、浅水波等的模型，它是所有带有二次非线性项发展方程的原始方程。mKdV方程ut+αu2ux+uxxx=0在尘埃离子声波、电磁波、离子孤波、交通流量问题等领域有着重要的应用。

KdV方程中的二次非线性项和mKdV方程中的三次非线性项结合，进而得到组合KdV-mKdV方程[1]ut+αuxx+βu2ux+γuxxx=0，其中，α，β，γ为任意的常数。该方程是很多科学现象如尘埃声孤波、带有阴离子的等离子体中的离子声波、界面孤波等的模型，并且广泛应用于等离子体、流体、量子场论等物理学中[1-2]。对于该方程，很多学者做了大量的研究：文献[3]证明了该方程的孤波解；文献[4]证明了该方程的精确解；文献[5]对该方程的行波解做了一定的研究等。

近年来，很多学者对于半离散和离散的方程的全局吸引子、正则性、维数等性质做了研究：文献[6]证明了时间离散的非线性弱耗散方程全局吸引子的存在性、正则性、维数等性质；文献[7]证明了带有斑点的半离散非线性Schrödinger方程的全局吸引子的存在和维数等。下面，笔者主要运用Crank-Nicolson格式对组合KdV-mKdV方程进行了离散, 再利用一致先验估计的方法证明半离散组合KdV-mKdV方程全局吸引子的存在性❶西南大学博士后研究基金项目(102060-207153)。。

1 Crank-Nicolson格式

(3)

下面，笔者介绍一种与方程(3)相关的Crank-Nicolson格式。

首先对于给定的u0∈H1(T)，KdV-mKdV方程(1)～(2)存在唯一的解u∈C([0,∞),H1)∩C1([0,∞),H-1)，方程(3)等价于：

(4)

对于给定的时间离散τ>0，考虑定义为τn=nτ的时间一致序列(tn)n，并且将方程(4)在时间区间[tn,tn+1]积分，有：

(5)

回顾梯形面积法则：

(6)

式(6)的估计误差为：

令子列un～u(tn)，这里u是KdV-mKdV方程(1)～(2)解的连续形式，在方程(5)中使用式(6)的法则，令β=e-λ τ，有：

(7)

2 主要结果

引理1假设λτ≪1是充分小的，则：

(8)

证明方程(7)与un+1+βun在L2(T)上作内积，取实部，由于：

利用Young不等式可得：

进而可得:

引入集合:

引理2存在一个正常数c，使得：

证明由文献[9]中的证明方法可得引理2。

证明由G-N不等式[10]和Agmon’s不等式[11]有：

由引理1，引理2， Young不等式[11]，Soblove嵌入不等式[11]和un∈H1(T)，有：

由此得引理3。

证明通过Banach不动点定理来证明方程(7)解的唯一性。若un存在，ω是g上的一个定点，令：

由引理2，引理3，G-N不等式[10]，有：

由引理1，引理2，G-N不等式[10]，有：

定理2定理1中的离散的半群S即Sun=un+1：E→E在H3(T)上有一个紧的全局吸引子。

证明方程(7)的任意的解un可以分解成un=vn+wn，∀n∈N，且vn和wn分别满足：

(9)

(10)

[1]Dey B.Domain wall solutions of the KdV like equations with higher order nonlinearity[J].J Phys A: Math Gen, 1986, 19: 1-9.

[2] Wadati M.Wave propagation in nonlinear lattice[J].J Phys Soc Jpn, 1975, 38: 673-680.

[3] Triki H, Taha T R.Wazwaz A M.Solitary waves solutions for a generalized KdV-MKdV equation with variable coefficients[J].Math Comput Simulation, 2010, 80: 1867-1873.

[4] Zhang J.New solitary wave solution of the combined KdV and mKdV equation[J].Int J Theor Phys, 1998, 37: 1541.

[5]Bekir A.On traveling wave solutions to combined KdV-MKdV equation and modified Burgers-KdV equation[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 2009, 14: 1038-1042.

[6] Goubet O, Zahrouni E.On a time discretization of a weakly damped forced nonlinear equation[J].Commun.Pure Appl Anal, 2008, 7: 1429-1442.

[7] Ezzoug E, Kechiche W, Zahrouni E.Fininte dimensional global attractor for a semi-discrete nonlinear equation with a point defect[J].App Comput, 2011, 217:7818-1873.

[8] Khamsi M A, Kirk W A.An introduction to metric space and fixed point theory[M].New York:Springer, 2003.

[9] Ezzoug E, Goubet O, Zahrouni E.Semi-dicrete weakly damped nonlinear 2-D equation[J].Differential Integral Equations, 2010, 23: 237-252.

[10] Friedman A.Partial Differential Equations[M].New York:Holt, Reinhart and Winston, 1969.

[11] Temam R.Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics[M].Berlin:Springer, 1988.

[编辑] 洪云飞

O175.29

A

1673-1409(2013)22-0009-04

2013-05-12

刘太涛(1986-)，男，硕士生，现主要从事无穷维动力系统方面的研究工作。