集值拟变分不等式间隙函数的一个注记*

胡玉萍

(重庆师范大学数学学院，重庆401331)

近年来，许多学者致力于变分不等式的研究.2011年，D.Aussel.J.Dutta提出了集值变分不等式和弱集值变分不等式的概念，并证明了有限性和误差界的性质.同年，RachanaGupta和AparanaMehra用正则化间隙函数和D-间隙函数得到了拟变分不等式的局部和全局误差界.在文献［1-3］的基础上定义了集值拟变分不等式和弱集值变分不等式的概念，并建立了它的间隙函数.

1 预备知识

定义1［1］设F:Rn→Rn是一个函数，C是Rn的一个凸子集.变分不等式(VI(F，C))是找到x∈C，使得≥0，∀y∈C.

定义2［2］设F:Rn→Rn是一个函数，C:Rn→2Rn是一个集值映射，且对每一个 x∈Rn，C(x)是Rn的一个闭凸集.拟变分不等式(QVI(F，C(x)))是找到)，使得≥0，∀y∈).

定义3［3］设T:Rn→2Rn是一个集值映射，C是Rn的一个非空凸子集.集值变分不等式的解集(S(T，C))，即:

2 集值拟变分不等式

定义5 设T:Rn→2Rn是一个集值映射，C是Rn的一个非空凸子集.集值拟变分不等式的解集(S(T，C(x)))，即:

定理1 假设集值映射T是方向闭的，那么对任意的α＞0，函数gα是集值弱拟变分不等式QVIω(T，C)的一个间隙函数.而且，如果对每一个x，C(x)是闭凸集，T是凸值映射，则 gα是集值拟变分不等式QVI(T，C)的一个间隙函数.

证明 函数gα显然是非负的.

如果gα(x)=0，则对任意的y∈C(x)，有，x－ y］.又因为 T 是方向闭的，则 Tα是方向闭的，从而对每一个y∈C(x)，存在∈Tα(x)，使得［，y－ x］≥0.由定义 2 可知，x是 QVIω(T，C)的一个解.如果 x是 QVIω(T，C)的一个解，由定义2立即可得 gα(x)=0.故 gα是集值弱拟变分不等式 QVIω(T，C)的一个间隙函数.

由Sion’s最小最大定理可得定理的后半部分的证明.

间隙函数gα的正则化间隙函数如下:

定理2 设对任意的x＞0，C(x)是一个闭凸集，T:Rn→2Rn是一个有非空值的方向闭集值映射，则对任意的 α ＞0，β ＞0，对任意的 x∈C(x)，g(α，β)(x)≥0.而且 g(α，β)=0当且仅当Sω(T，C(x)).

证明 由 g(α，β)(x)的定义，显然有对任意的 x∈C(x)，g(α，β)(x)≥0.

假设 g(α，β)=0，任意取一个固定的点x0∈C(x)，考虑如下子列:

［1］PATRICE M，DAO L ZH.Weak sharp solutions of variational inequalities［J］.SIAM JOptim，1998(9):179-189

［2］RACHANA G，APARANA M.Gap functions and error bounds for Quasi variational inequalities［M］.J Glob Optim，published on line，2011

［3］AUSSEL D，DUTTA J.On gap functions for multivalued stampacchia variational inequalities［J］.Joptim Theory Appl，2011，149:513-527.

［4］FACCHINEI F，PANG J S.Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems［M］.New York:Springer-Verlag，2003

［5］SION M.On general minimax theorems［J］.Pac JMath，1958(8):171-176