平面温度场的复势研究

温 建，王 莉，王庆禄

（1.武汉大学 物理科学与技术学院，湖北 武汉 430072，2.唐山师范学院 物理系，河北 唐山 063000；3.唐山师范学院 现代教育技术中心，河北 唐山 063000）

物理上及工程技术上常常需要研究各种各样的场，例如电磁场、声场、温度场等[1]。对于与时间无关的恒定场，若在空间某方向上是均匀的，则在垂直于该方向的平面内，场的分布情况完全相同。这样的场称为平面场。比较常见的平面场有平面静电场、平面无旋液流场、平面温度场等。其中，平面温度场是一种无旋无源平面场，可以用复势理论[2,3]进行分析和研究。

马仁和滕敦朋[2]用复势理论研究了平面静电场，证明了任意电力线既不相交也不相切。李秀燕和陈赐海[3]给出给出了无限长均匀带电直线的复势，讨论了平行直线排列与平行环形排列两种情况下，无限长均匀带电直线组的复势与电场，得出了相应的电场线与等势线方程。张华和潘际銮[4]采用图象比色法建立了焊接温度场实时检测系统，快速获取了二维焊接温度场分布。他们的研究表明，双椭圆热源分布模型二维温度场计算结果与实际温度检测结果最为接近。洪新兰等[5]采用无单元法对平面热应力问题进行了研究，求解了平面稳态温度场的第一类边值条件的温度分布，并对其进行了热应力分析，取得了较好的数值结果。这里，我们将讨论稳恒的平面温度场的复势，计算其温度分布。

1 平面温度场的复势

任何无旋无源平面向量场都有复势[1]，任f (z )必有以它为复势的无旋无源平面向量场何解析函数

即

因而

因此在单连通区域B内，

则

由此可得：

即为傅里叶定律。

在z轴方向上，温度是恒定的，温度的分布只是在垂直于z轴的横向上有变化。令温度为U(x, y)，它满足

结合U(x,y)的边界条件可求出平面温度场的温度分布，再根据柯西—黎曼方程可求出平面温度场的热流量函数，进而得出该平面温度场的复势

其中

为等温线，

为热流线族。

2 平面长方形温度场分布

长为a，宽为b的矩形板，在达到稳定后x=0，y=0的两个边分别有热量流入、流出，其热流强度分别为q/b和q/a，而另外两个边均绝热。该物理问题的数学表述为：

得

由柯西-黎曼方程

得

则相应的复势为

令 k=1，q=8，a=0.8，b=0.5，由 MATLAB可以得出如图1所示的长方体的矩形温度分布。

图1 横截面长0.8宽0.5的矩形温度场稳定分布

如图1所示，热流从左侧流入，从下侧流出，且上边和右边绝热，温度达到稳定分布。在（0.8, 0）点温度最低。随着y方向增加、x方向减小温度逐渐增加，当到达点（0,0.5）时温度最高。图中曲线为等温线，箭头为热量传递的方向。

3 圆柱体温度场分布

如图2所示，半径为ρ0，表面熏黑了的长圆柱，在零度的空气中受着阳光照射，阳光垂直于柱轴，热流强度为q0。

图2 受阳光照射的圆柱截面

泛定方程为ΔU=0，边界条件为

f(φ)是热流强度的法向分量。由题意可知：

定解问题为

由柯西-黎曼方程

得

取 a=1，H=1.5，k=0.3，h=0.2，q=5，应用 MATLAB可得图3和图4。

图3为温度稳定分布图像，圆形横截面上温度在（0，-1）点温度最低，为0度。在点（0,1）上温度达到最大2.8度。图像关于过（0，-1）（0,1）两点的直线 l1对称。令θ为半径与直线 l1沿y轴正方向的夹角，则随着θ的增大温度逐渐地降低。图4直观地给示出该平面温度场的等温线。

图3 受光照射圆柱温度稳定分布图

图4 受光照射圆柱的等温线

4 结论

平面温度场为无旋无源平面场，一定存在复势f(z)。物体温度稳定分布可通过复势方法来研究。本文利用柯西—黎曼公式求解热传导的定解问题得出了两种典型平面温度场的复势f(z)，并应用MATLAB工具直观地描绘出了温度场的稳定分布图像和等温线。

[1] 梁坤淼.数学物理方法(第4版)[M].北京:高等教育出版社,2009:10-20.

[2] 马仁,滕敦朋.关于电力线的一点讨论[J].青岛大学报,2001,14(2):27-29.

[3] 李秀燕,陈赐海.无限长均匀带电直线组电场分布的复势解法[J].大学物理,2010,29(1):23-25.

[4] 张华,潘际銮.基于二维焊接温度场检测的三维温度场计算模拟[J].焊接学报,1999,20(4):225-231.

[5] 洪新兰,邓苗毅,李炳南.无单元法在平面热应力分析中的应用[J].河南科学,2004,22(4):455-457.