时变磁场下杂质对Heisenberg XXX链纠缠特性的影响

张 佩，吕跃凯

（天津师范大学物理与材料科学学院，天津300387）

因具有超高的速度、超大的容量和良好的保密性等特点，量子信息技术被认为是下一代信息产业的关键技术.1935年，因为Einstein等的研究[1]，量子纠缠现象被人们发现，如今量子纠缠态已经成为量子计算和量子信息技术中的基本资源，其相关研究对量子信息理论和技术影响深远.利用这一资源，人们提出并部分实现了包括量子隐形传态[2-3]、量子密钥分配[4]、量子纠错编码[5]、量子超密编码[6]和量子远程计算[7]等在内的多种量子信息技术.为了实现量子纠缠，人们找到了固态系统中的自旋链模型[8-11]，并进行了广泛而深入的研究.自旋链模型可用Heisenberg模型[12]描述，由于粒子的自旋可以看成量子比特，因此Heisenberg模型可以通过量子点[13]、电子自旋[14]、原子核自旋[15]和光学晶格中的冷原子[16]等物理系统实现.

目前，有关Heisenberg模型在均匀磁场[17-19]和非均匀磁场[19-20]情况下纠缠性质的研究取得了广泛进展，但对含杂质情况和在时变磁场下系统纠缠性质的研究非常少见，本研究考虑系统在含杂质情况下，且同时受到时变磁场影响时的纠缠特性，利用Wootters提出的concurrence[21]这一经典的纠缠度量方式，研究了杂质对系统的热纠缠和时间纠缠的影响.

1 理论模型

设余弦时变磁场加在掺杂Heisenberg XXX链的2个正常格点上，此时系统哈密顿量可以写为

以｜000〉，｜001〉，｜010〉，｜011〉，｜100〉，｜101〉，｜110〉，｜1111〉为基矢，可将系统的哈密顿量展开为

H的矩阵元X=J1+2J+2B，Y=J1+2J-2B，U=J1-2J+2B，V=J1-2J-2B.其中 B=B0cosωt.

系统的本征方程

式（7）和式（8）中：归一化系数 M±=（p±）2+2，N±=（p±）2+2；

式（9）中：ρ的矩阵元α=u++s++s--r；配分函数Z=u++u-+s++s-+t++t-+2r，其中u±=e-(J2-2J±2B）/T，r=e-(-3J2）/T，

2 分析和讨论

2.1 掺杂条件下Heisenberg XXX链的热纠缠

图1为不同J值情况下，时变磁场加在正常格点时掺杂系统的热纠缠图.

图1（a）为当系统的J值较小（弱关联）、时变磁场加在正常格点时掺杂系统的热纠缠图.从图1（a）中可以看出，当J值保持一定的数值（如J=0.1）、系统的温度逐渐升高时，正常格点之间的纠缠度一开始保持在最大纠缠度附近，而后逐渐降低，直至完全失去纠缠，其原因是随着温度逐渐升高，大量激发态参与到纠缠中，使系统的纠缠度大幅度降低.系统完全失去纠缠现象的温度称为临界温度（Tc）.考虑到图1（a）中系统的J值较小，可以认为此时系统的杂质格点与正常格点之间的相互作用对正常格点之间的纠缠度的影响较小.在这种情况下，J值的小幅度增大对纠缠曲线的影响表现为系统的纠缠曲线小幅度上移，同时系统的临界温度也小幅度提高.

图1（b）为J值增大后，时变磁场加在正常格点时掺杂系统的热纠缠图.由图1（b）可知，当系统的J值增大到一定程度时，时变磁场加在正常格点时掺杂系统的纠缠曲线不再表现为传统的两体热纠缠曲线形式，而是当温度从绝对零度开始，从一个比较小的初始纠缠度（略大于0.5）迅速降低到完全失去纠缠，然后逐渐恢复到一定的纠缠度，最后再一次完全失去纠缠.造成这种现象的原因是当系统的J值增大到一定程度时，杂质格点与正常格点之间的相互作用对系统纠缠度的影响与正常格点之间的相互作用对系统纠缠度的影响相当，致使系统的纠缠曲线表现出一定程度的混乱.系统纠缠曲线表现出一定程度混乱的区间约在1.1～1.5，这个区间可以叫做过渡区间.

系统的J值继续增大，正常格点之间的相互作用对纠缠曲线的影响逐渐降低，杂质格点与正常格点之间的相互作用对系统纠缠度逐渐起主要作用，如图1（c）所示.此时系统的热纠缠曲线形状与图1（a）中的热纠缠曲线相似，但是靠近绝对零度附近的初始纠缠度（略小于0.6）明显小于图1情况，系统的临界温度 Tc也小于图1（a）.图1（c）还表明，当系统的J值增大时，系统的纠缠曲线明显上移，此时可以将J值作为调节系统热纠缠曲线的主要参数.

2.2 掺杂条件下Heisenberg XXX链的时间纠缠

图2为当时变磁场加在正常格点，外加磁场随时间周期性变化时，系统的纠缠度随时间周期性变化的曲线图.

图2（a）为J值较小时，系统纠缠度随时间周期性变化的情况.此时，系统各格点之间的相互作用对纠缠度的影响与图1（a）的情况类似.图2（a）中，系统的纠缠曲线呈周期性变化的周期与磁场的周期相同，在t=0的初始时刻，系统的纠缠度处于较大的范围内（0.8＜C＜0.9），然后随着时间的推移，纠缠曲线首先经历1次振幅较小的波峰，然后经历1次振幅较大的波谷，最后再经历1次振幅较小波峰后进入下1个周期.整个周期内，系统的纠缠曲线相对于主极小值左右对称.在这种情况下，系统的J值增大时，纠缠曲线的初始纠缠度增大，波峰处的极大值减小，波峰相对于对称轴外移，波谷处的极小值减小，波谷下移.系统的纠缠曲线在波峰处变化不大，在波谷处产生较大变化.

保持时变磁场对掺杂系统的作用方式，当J值增大到过渡区间时，系统纠缠度随时间的变化关系如图2（b）所示.由图2（b）可知，系统的纠缠曲线发生了很大变化，初始纠缠度下降到0.1～0.3附近，且在时间的推移下迅速失去纠缠，然后逐渐恢复到极大值（约为0.75），然后再一次失去纠缠现象，最后回到初始位置进入下1个周期.系统的初始纠缠度处于次极大值位置，整个周期内纠缠曲线相对于最大值处对称.J值增大时，系统的初始纠缠度产生较大程度减小，系统第1次失去纠缠的时间提前，第2次失去纠缠的时间推后，系统的纠缠曲线在最大值附近小幅度上移.

时变磁场继续作用在掺杂系统的正常格点上，当系统的J值增大到杂质格点与正常格点之间的相互作用对系统的纠缠曲线起主要作用时，系统纠缠度随时间的变化关系如图2（c）所示.系统的纠缠曲线与余弦曲线类似，系统从初始位置开始经历了1个波峰后即回到初始位置，进入下1个周期.初始位置处于极小值，且相对于图2（a）中的初始纠缠较小，整个周期内纠缠曲线相对于波峰的极大值左右对称.系统的J值增大时，纠缠曲线的初始纠缠度增大，波峰下移，纠缠曲线在初始位置处变化较大，在波峰处变化较小.

3 结论

本研究针对时变磁场加在正常格点上的情况，推导了掺杂Heisenberg XXX链的纠缠度表达式，分析讨论了时变磁场对掺杂系统热纠缠和时间纠缠特性的影响.研究发现：当杂质格点与正常格点之间的耦合强度J值较小时，随着杂质环境的改变，系统的热纠缠仅有微小改变，但时间纠缠在一定区间呈大幅震荡；当J值处于过渡区间时，系统的纠缠特性出现一定的不可控现象；当J值较大时，系统的热纠缠受杂质环境的影响变化较大，但时变磁场无法使时间纠缠曲线出现较大震荡.改变时变磁场对掺杂系统的作用方式，系统的纠缠特性不会发生根本性变化.当参数对系统的纠缠特性影响较大时，可以比较容易通过调整参数大小生成所需要的纠缠态，并控制生成的纠缠态的演化.本研究的计算结果对量子信息实验中通过构建和选择参数调整系统的纠缠性质具有一定的作用和意义.

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