复化Simpson公式在r-重积分Wiener空间下的平均误差

王 茹，许贵桥

（天津师范大学数学科学学院，天津300387）

假设F是一个集合，G是一个范数为‖·‖的线性赋范空间，μ是定义在F的Borel子集上的概率测度，S是F到G的可测映照，称为解算子；N是F到Rn的一个可测映射，称为信息算子；φ是Rn到G的一个可测映射，称为算法.当1≤p＜+∞时，信息基逼近φ·N相应于测度μ的p-平均误差为[1]

在上述定义中，F通常为函数空间，S通常为恒等算子（此时称为逼近）或积分，信息算子通常为标准信息，而φ通常为线性算子[2].对于逼近和积分问题在平均情形下的误差分析已有了大量研究，但这些研究所使用的逼近方法都是样条函数逼近.考虑到多项式插值在数值计算中的重要作用，文献[3-7]考虑了基于Chebyshev多项式零点的Lagrange插值在 Wiener空间及其一重积分Wiener空间下关于逼近问题的平均误差.注意到复化Simpson公式在数值积分中的重要作用，本研究考虑复化Simpson公式在r-重积分Wiener空间下的平均误差，得到相应情形下的饱和阶为1/n4.

记F0={f∈C[0，1]∶f（0）=0}.∀f∈F0，定义‖f‖C∶=｜，则（F0，‖·‖C）成为一个可分的Banach空间.（F0，‖·‖C）上的 Borel集记为 B（F0），B（F0）上的Wiener测度记为ω0[2].定义F0上的r-重积分算子Tr，r≥1：Trg（t）=对于任意的g∈F0，Trg∈Fr={f∈C(r)[0，1]：f(k)（0）=0，k=0，…，r}.易知 Tr是从 F0到 Fr的双射.Fr上的r-重积分Wiener测度ωr可用诱导测度ωr=ω0Tr-1来定义，即∀A⊂Fr，

由文献[2]可知

其中：当z＞0时，z+=z，否则z+=0.

其中：tk=易知Tn（f）为信息基算子，其中：

定理 若 S、Tn、Fr、ωr定义如上，则

其中vp是标准正态分布的p次绝对矩.当r≥4时，有

这里及以下的an=O（bn）表示存在与n无关的正数C，使得｜an｜≤Cbn.

由定理及文献[2]可知，当r=0、1、2、3时，复化Simpson公式是弱渐近最优的，但当r≥4时，复化Simpson公式不是渐近最优的.

定理的证明：由文献[2]知ωr是Fr上的Gaussian测度，而

是 C[0，1]上的一个连续线性泛函.因此，L（f）是正态分布.由文献[2]知 A x∈[0，1]，有

由式（6）及积分可交换顺序的Fubini定理可知L（f）在Fr下的数学期望为

而由式（7）知 L（f）在 Fr下的方差为

由式（8）及式（3）可计算得

当r=0时，由式（9）得

当r≥1时，记

当 r=1，0≤t≤1 时，有

直接计算可得

由式（12）～式（14）可计算得

由式（9）、式（11）和式（15）可计算得

当r≥2，0≤t≤1时，可直接检验得

由式（17）及Newton-Leibniz公式可得

所以，当 r=2，0≤t≤1时，有

直接计算可得：对任意的1≤k≤n，有

从而有

因此由式（19）和式（21）得

令u=s-[nt]/n.当t≥[nt]/n+1/（2n）时，有

当t≤[nt]/n+1/（2n）时，有

故由式（9）、式（22）和式（23）可得

当 r=3，0≤t≤1时，由式（18）及式（23）～式（24）的推导过程可得：当t≥[nt]/n+1/（2n）时，有

当t≤[nt]/n+1/（2n）时，有

由式（9）、式（26）～式（27）可得

另记

直接计算可得

利用归纳法及式（17）可得：当r≥4时，有

直接计算可得

由式（30）可得

直接计算可得

由式（34）和积分中值定理可得

由式（31）～式（32）和式（35）可得

由式（9）、式（11）和式（36）可得

由式（1）、式（5）、式（10）、式（15）、式（24）、式（28）、式（37）及文献[8]的式（26）可得定理的结论.

[1]TRAUB JF，WASILKOWSKIGW，WOZNIAKOWSKIH.Information-Based Complexity[M].New York：Academic Press，1988.

[2]KLAUSR.Average-Case Analysis of Numerical Problems[M].New York：Springer-Verlag，2000.

[3]许贵桥.Lagrange插值和Hermite-Fejér插值在Wiener空间下的平均误差[J].数学学报，2007，50（6）：1281—1296.

[4]许贵桥.插值多项式在一重积分Wiener空间下的同时逼近平均误差[J].中国科学：A辑，2011，41（5）：407—426.

[5]许贵桥，王婕.Lagrange插值在一重积分Wiener空间下的同时逼近平均误差[J].数学学报，2012，55（3）：405—424.

[6]胡增周.Lagrange插值在一重积分Wiener空间下的平均误差[J].天津师范大学学报：自然科学版，2012，32（4）：1—5.

[7]张政，崔然，许贵桥.Lagrange插值在Wiener空间下的平均误差[J].天津师范大学学报：自然科学版，2012，32（1）：17—21.

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