证明q-恒等式的一种迭代法

庄世嘉，郑德印

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

证明q-恒等式的一种迭代法

庄世嘉，郑德印

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

考虑求和项含有q-二项式系数的一类终止型q-级数恒等式.利用q-二项式系数的两个递推关系，建立了此种q-级数的两个递推关系.作为应用，使用这两个递推关系证明了一些重要而基本的求和公式，例如q-Chu -Vandermond、q-Pfaff-Saalschütz和q-Dixon求和公式.这一迭代法对证明q-级数恒等式是简单和有效的方法.

q-恒等式;q-级数;q-二项式系数;迭代法

0 引 言

众所周知，q-恒等式的证明方法很多，比如迭代法[1-3]、Carlitz反演法[3-4]、q-Lagrang反演法[5]、q-差分法[1 -2]、Abel方法[6]、WZ方法[7]和组合意义证明法[8]等.受文献[9]的启发，本文给出证明q-恒等式的一种迭代法，即通过建立q-组合和的递推公式来证明q-恒等式.从证明过程可以看出，这一方法是证明q-组合和恒等式的一个简单而统一的方法.为了展示这一方法的有效性，在第2节和第3节分别给出了一些重要而经典的q-恒等式和q-级数求和公式的证明过程.在开始这一过程之前，先介绍一些记号、概念和结论.

定义x的n次q-平移阶乘(x;q)n为

(x;q)0:=1, (x;q)n:=(1-x)(1-xq)…(1-xqn-1),n=1,2,….

为了简便，记(a,b,…,c;q)n:=(a;q)n(b;q)n…(c;q)n.定义q-二项式系数为

容易验证，q-二项式系数满足Pascal三角递推关系[2,I.45]：

(1)

(2)

基本超几何级数(或q-级数)[1-2]定义为

1 q -组合和的两个递推公式

定理1对于正整数n和任意序列α0,α1,…,αn，有递推关系：

(3)

证明当n=1时，结论显然成立.下设n>1，由q-二项式系数的递推关系(1)，有

□

定理2对于正整数n和任意序列α0,α1,…,αn，有递推关系：

(4)

证明当n=1时，结论显然成立.下设n>1，由q-二项式系数的递推关系(2)，有

□

2 基本的q -恒等式

定理3(Goldman-Rota的q-二项式定理[10])对正整数n和任意变量x,y,z，有

(5)

其中，Pn(x,y)=(x-y)(x-qy)…(x-qn-1y).

证明在递推关系式(3)中，令αk:=Pk(x,z)Pn-k(z,y)，则有

使用此递推公式，连续迭代n次，得

□

注若在式(5)中，取y=0,z=1，则得著名公式

(6)

若在式(5)中，令x=1,z=0，再将y换成z，求和指标k换为n-k，则有

推论4(q-二项式定理[1，P.490,Corollary10.2.2(c)])对正整数n和任意的变量z，有

(7)

若在式(5)中，令x=1,y=ab,z=a，则得

推论5([2，P.25,Ex.1.3])对于正整数n和任意的变量a和b，有

(8)

进一步地，将上等式中的a、b互换，k→n-k，则得等式(8)的另一形式：

(9)

定理6([2，P.33,Ex.1.35])设x和y是具有q交换因子(即xy=qyx)的两个未知量，且满足分配律，那么有

(10)

证明因为xy=qyx，所以xn-k-1y=yxn-k-1qn-k-1.若令αk:=ykxn-k，则

αk+αk+1qn-k-1=ykxn-k+yk+1xn-k-1qn-k-1=ykxn-k-1x+ykxn-k-1y=ykxn-k-1(x+y).

于是由递推关系(4)，有

□

注等式(10)形式上非常类似于二项式定理，但实际上是完全不同的.此等式也揭示了q-二项式系数是如何产生的.另外，本节中的恒等式都是重要而经典的q-恒等式，有很多其他的证明方法，如数学归纳法、迭代法、待定系数法和q-差分法等等，见文献[1-3].

3 q -级数求和公式

定理7(q-Chu-Vandermonde公式[2,II.6,II.7])对任意正整数n和复参数b、c，有

(11a)

(11b)

证明若将公式(11a)中的和翻转，即将求和指标k换成n-k，然后参数b、c分别换成q1-n/c、q1-n/b，那么(11a)变成(11b).所以这里仅证(11a).首先将(11a)改写为

(12)

αk(n,a,b,c)qk+αk+1(n,a,b,c)=(1-c/b)αk(n-1,a,b,cq).

将这一结果代入到递推公式(3)中，则有

连续迭代此递推公式n次，得

Ωn(a,b,c)=(1,c/b)Ωn-1(a,b,cq)=(1-c/b)(1-cq/b)Ωn-2(a,b,cq2)=

…=(1-c/b)(1-cq/b)…(1-cqn-1/b)Ω0(a,b,cqn).

因Ω0(a,b,cqn)=1，则等式(12)得证.

□

定理8(q-Pfaff-Saalschütz求和公式[2,II.12])对任意正整数n和复参数a、b、c，有

(13)

证明将等式(13)右边的分母乘到左边，化简整理，则要证等式可改写为

由这两个结果，然后{(3)-(c/ab)×(4)}/(1-c/ab),得

若记上等式左端为Ωn(a,b,c)，那么上等式可改写成

Ωn(a,b,c)=(1-c/a)(1-c/b)Ωn-1(a,b,cq).

连续迭代此递推关系n次，有

由Ω0(a,b,cqn)=1，证得式(13).

□

注等式(13)左边级数的特点是q与分子参数之积等于分母参数之积，这是q-级数的一种重要类型，称为Saalschütz型的.公式(3)是Pfaff-Saalschütz公式[2]

的q-模拟，1910年由Jackson[11]导出，其证明方法一般是利用q-二项式定理[1]、Heine变换[3]和级数重排的方法[11]，文献[8]从整数分拆的角度给出了一个组合证明.这里给出的方法是q-组合和迭代法，无需借助于其他的定理，证明过程非常简单.

定理9(终止型q-Dixon求和公式[2,II.21])对任意正整数n和复参数a、b、c，有

(14)

证明将等式(14)右边的分母乘到左边，约掉等式两边的因子(aq;q)n，则式(14)可改写为

(15)

而

上面大括号中的式子可以重新组合、因式分解为

这样，qkαk(n,a,b,c)+αk+1(n,a,b,c)可改写为

(1-aq/bc)(1-aq1+2k)αk(n-1,aq,b,c)+aq2kαk(n,a,b,c)+aq1+k+nαk+1(n,a,b,c).

所以

对最后一个和式作指标代换：k→k-1，然后用公式(2)将其与第二个和合并，则有

因此

Ωn(a,b,c)=(1-aq/bc)Ωn-1(aq,b,c).

连续迭代此递推公式n次，并注意到Ω0(aqn,b,c)=1，得

Ωn(a,b,c)=(1-aq/bc)Ωn-1(aq,b,c)=(1-aq/bc)(1-aq2/bc)Ωn-2(aq2,b,c)=

…=(aq/bc;q)nΩ0(aqn,b,c)=(aq/bc;q)n.

定理9证毕.

□

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[11] Jackson F H .Transformations ofq-series[J]. Mess Math,1910,39:145-153.

AnIterativeMethodforProvingq-identities

ZHUANG Shijia, ZHENG Deyin

(College of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

The paper discussed a kind of terminatingq-series identities whose summation contains theq-binomial coefficient, established two recursive relations of suchq-series with two recursive relations of theq-binomial coefficient, and used these two recursive relations to prove some basic and important summation formulas such as theq-Chu-Vandermond,q-Pfaff-Saalschütz andq-Dixon sum formula. This iterative method is a simple and useful approach for provingq-series identities.

q-identities;q-series;q-binomial coefficient; iterative method

2013-01-20

浙江省自然科学基金项目(LY12A01030).

郑德印(1964—), 男, 副教授, 主要从事组合数学、超几何级数和特殊函数研究. E-mail：deyinzheng@hznu.edu.cn

10.3969/j.issn.1674-232X.2013.04.010

O157.1MSC201011B65; 33D15

A

1674-232X(2013)04-0332-06