多线性交换子的Sharp估计

周檬，许现晖,石建国

(1.河北软件职业技术学院 信息工程系，河北 保定 071000;2.河北软件职业技术学院 学生处，河北 保定 071000)

多线性交换子的Sharp估计

周檬1，许现晖1,石建国2

(1.河北软件职业技术学院 信息工程系，河北 保定 071000;2.河北软件职业技术学院 学生处，河北 保定 071000)

通过奇异积分算子的有界性，利用函数空间的分解和一些基本不等式证明了奇异积分算子构成的多线性交换子在齐型空间的Sharp函数不等式.

多线性交换子；奇异积分算子；齐型空间；BMO空间；Sharp不等式

随着奇异积分算子的发展，与其构成的交换子也得到了很好的研究[1-4]，令b∈BMO(Rn),T为Caldero′n-Zygmund算子.由b和T生成的交换子[b,T]定义为

[b,T]f(x)=b(x)Tf(x)-T(bf)(x).

Coifman等[5]证明了一个经典结论即交换子[b,T]是Lp(Rn)有界的，当1

1 预备知识

首先，介绍一些记号和定义[2,5-6].给定一个集合X,一个函数d:X×X→R+叫做X上的拟距离.如果满足以下条件：

Ⅰ)对X中的x和y，d(x,y)≥0和d(x,y)=0当且仅当x=y.

Ⅱ)对X中的x和y，d(x,y)=d(y,x).

Ⅲ)存在一个常数l≥1使得d(x,y)≤l(d(x,z)+d(z,y)),

(1)

对X中的每一个x,y和z均成立.

令μ为X的子集σ-代数上的正测度，集合X包含半径为r的球B(x,r)={y:d(x,y)

0<μ(B(x,2r))≤Aμ(B(x,r))<∞,

(2)

对所有x∈X和r>0均成立.

上述结构(X,d,μ)叫做齐型空间，其中d和μ如上所述.在式(1)和式(2)中的常数l，A叫做空间常数.

b属于BMO(X),如果b#属于L∞(X)并且定义‖b‖BMO=‖b#‖L∞.因为‖b-b2kB‖BMO≤Ck‖b‖BMO.

本文主要研究的多线性交换子如下.

定义假设bj(j=1,2,…,m)是X上的固定的局部可积函数，令T为奇异积分算子，即

其中K是在X×X/{(x,y):x=y}的局部可积函数且满足下列条件：

当d(x,y)≥2d(y,y′)，且δ∈(0,1].

2 主要定理证明

引理1[6]令1

引理2 令1

(b1(x)-(b1)2B)…(bm(x)-(bm)2B)T(f)(x)+(-1)mT((b1-(b1)2B)…

|b1(x)-(b1)2B)…(bm(x)-(bm)2B)T(f)(x)|+

|T((b1-(b1)2B)…(bm-(bm)2B)f2)(x)-T((b1-(b1)2B)…(bm-(bm)2B)f2)(x0)|=

I1(x)+I2(x)+I3(x)+I4(x).

对于I1(x),根据Hölder不等式，1/p1+1/p2+…+1/pm+1/t=1，其中1

对于I2(x)，根据Minkowski不等式和Hölder不等式,有

对于I3(x)，选取1

对于I4(x)，取1

证毕.

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Sharpestimateformultilinearcommutator

ZHOUMeng1,XUXianhui1,SHIJianguo2

(1.Information Engineering, Hebei Software Institute, Baoding 071000, China;

2.Student Affairs Office, Hebei Software Institute, Baoding 071000, China)

The sharp function inequality for the multilinear commutator related to the singular integral operator on the space of homogeneous type by means of the boundedness of singular operator was proved.The main tools of the proof were decomposition of function spaces and some general inequalities.

multilinear commutator; singular integral; space of homogeneous type; BMO space; Sharp inequality

10.3969/j.issn.1000-1565.2013.01.003

2011-12-25

河北省科学技术研究与发展计划项目(11227167)

周檬(1980-)，女，河北保定人，河北软件职业技术学院讲师，主要从事积分算子方向的研究.

E-mail:zm_000@126.com

O174.3

A

1000-1565(2013)01-0010-04

MSC2010: 42B20; 42B25

(责任编辑王兰英)