立体几何中的翻折问题

● (杭州市第十四中学 浙江杭州 310006)

立体几何中的翻折问题

●朱豪王红权(杭州市第十四中学 浙江杭州 310006)

随着自主命题的深入，浙江省数学高考立体几何试题对翻折问题似乎情有独钟，且常考常新．这类试题背景简单，立意深远，对考生的空间想象能力要求很高,能较好地改善学生对立体几何的思维定势．

研究翻折问题应注意折前折后各元素相对位置的变化．要理清哪些位置关系和度量关系发生了变化，哪些没有改变．解决翻折问题的关键可以归纳如下：

(1)找准“基准图”折叠；

(2)画好“2个图”——折叠前的平面图和折叠后的立体图；

(3)寻找“2个量”——哪些量(或关系)发生了变化，哪些量(或关系)没有发生变化．

立体几何教学中用好翻折问题，可以让学生走出平面定势，构建空间立体结构直观图，使静态数学动态化，优化学生的思维．

1 翻折与线面位置关系判定

例1图1表示一个正方体表面的一种展开图，图中的4条线段AB,CD,EF和GH在原正方体中相互异面的有______对．

分析将其中一个面作为“正面”，依次将该面的左、右、上、下5个面复原，如图1所示．观察即知相互异面的线段有AB与CD，EF与GH，AB与GH这样3对．

评注画折叠图一般以某个平面为基础，依次将与其相连的平面沿公共边旋转复原，画图之前要对翻折后形成的立体图形有所认识，这是此类问题的关键所在．

图1 图2

图3

例2如图2，在正△ABC中，D，E，F分别为对应边的中点，G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点，将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为

( )

A．90° B．60°

C．45° D．0°

分析将△ABC沿DE,EF,DF折成的三棱锥如图3所示，GH和IJ为一对异面直线.由已知可得DF∥GH，IJ∥AD，∠ADF即为所求的角，即GH与IJ所成角的度数为60°．

评注本题解题的关键是抓住其中一些量的不变性，即IJ∥BD，GH∥DF在翻折前后不变，∠ADF在翻折前后都为60°等．

图4 图5

分析联结A1B，沿BC，将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图5所示，联结A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．

评注立体几何问题平面化，是解决立体几何最值问题的重要思想，也是计算某些线段长度的重要方法，平面化过程要注意变化前后的变与不变性.

图6

例4在△ABC中，M,N分别是AB，AC上的点，且AM∶MB=AN∶NC=1∶2，把△AMN沿MN折起到△A′MN，使二面角A-MN-B为60°．

(1)求证：平面A′MN⊥平面A′BC；

(2)当△ABC是边长为2的正三角形时，求A′B的长度．

评注沿一条直线翻折往往存在线与面、面与面的平行或垂直关系，也可求空间角、空间距离等．已知条件隐藏在翻折前的图形当中，看出隐藏条件是解决问题的关键．

( )

A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．对任意位置，直线AC与BD，AB与CD，AD与BC均不垂直

(2012年浙江省数学高考理科试题)

分析本题解法较多，这里选择建立空间坐标系的方法，想说明空间向量是解决立体几何计算问题的强有力的武器．

解把△ABD绕BD旋转一周，并建立如图7所示的空间坐标系，则

图7 图8

评注通过该解法，容易知道问题的本质是圆锥中过定点A的截面ADE，AD能否与AE垂直的问题(如图8)．容易知道只有当∠BAC≥90°时才存在．

2 翻折与空间角、距离和体积的计算

(1)求二面角A′-FD-C的余弦值；

(2)点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长．

(2010年浙江省数学高考理科试题)

设n=(x，y，z)为平面A′FD的一个法向量，则

图9

(2)设FM=x，则M(4+x，0，0)，因为翻折后，点C与点A重合，所以CM=A′M，故

例7如图10，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC．在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK=t，则t的取值范围是______．

(2009年浙江省数学高考理科试题)

图10

图11

分析此题常用寻找2个极端位置的方法，这里采用折前折后的图形同时呈现的方式，更容易找到问题的关键．

评注这里的关键是发现D′D⊥AF，使得将空间中线线、线面垂直转化为平面中DK⊥AF．

例8将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D-ABC的体积为

( )

分析取BD的中点为O，BD⊥平面OAC，则

从而

故选D．

在解翻折问题的过程中，要充分挖掘和利用其中的不变关系和不变量(主要是平行、垂直关系和角度的大小、线段的长度等)；注重平面和立体之间的相互转化；适时利用空间向量，转化问题，最终解决问题．