一道全国联赛加试题背景下的优美不等式

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(珠海市实验中学高中部 广东珠海 519090)

一道全国联赛加试题背景下的优美不等式

●王恒亮

(珠海市实验中学高中部 广东珠海 519090)

上述问题为2012年全国高中数学联赛加试试题的压轴题，对于它的证明在此不再赘述.笔者对题中Sn作了进一步探究，得到了一个与Sn相关的一个“优美”不等式，现与大家分享.

证明由基本不等式知

(2)

(k+1)!=k!(k+1)≥(k+1)2kSk.

由式(3)知

(k+1)2kSk>2(k+1)Sk+1-kSk·2kSk=2(k+1)Sk+1,

故

(k+1)!>2(k+1)Sk+1,

即当n=k+1时结论也成立.由归纳法可知对任意n≥2都有

综合式(1)～式(4)可知