圆锥曲线中相交弦的有关性质

●

(杭州市外国语学校 浙江杭州 310023)

圆锥曲线中相交弦的有关性质

●颜美玲

(杭州市外国语学校 浙江杭州 310023)

文献[1]介绍了关于圆锥曲线的一个优美性质如下：

定理1如图1，过椭圆的非对称轴的弦PQ的中点O′作2条与PQ不重合的弦AB，CD,过点A,B分别作椭圆的切线交于点M,过点C,D分别作椭圆的切线交于点N,则MN∥PQ.

笔者借助几何画板研究，发现在圆锥曲线中相交弦的有关性质，下面一一介绍.

思考1定理1中“O′为弦PQ的中点”的条件可否一般化？

经过笔者研究，知该条件无法一般化，但可以得到进一步的结论：

图1

性质1如图1,PQ是椭圆的非对称轴的弦,O′为弦PQ上一点，过点O′作2条与PQ不重合的弦AB，CD,过点A,B分别作椭圆的切线交于点M,过点C,D分别作椭圆的切线交于点N,则MN∥PQ成立的充要条件是O′为弦PQ的中点.

证明“充分性”的证明可见文献[1].下面证明“必要性”.

图2

从而

λ=1或x7y8-x8y7=0.

此时，若λ=1，显然O′为弦PQ的中点.若x7y8-x8y7=0，如图2可得Rt△OPE∽Rt△OFQ,则∠POE=∠FOQ,因此点P,O,Q共线,此时点O′即为点O.

思考2过椭圆2条相交弦端点的4条切线是否具有其他优美的性质？

图3

性质2如图3,若弦AB,CD相交于椭圆内一点O′,过点A,D分别作椭圆的切线交于点R,过点B,C分别作椭圆的切线交于点S,则点R,O′,S共线.

分析虽然条件仍是过2条相交弦端点的4条切线,但文献[1]的方法已不适用.若设点A,B,C,D的坐标，要求出点O′的坐标计算太复杂,于是笔者考虑能否用其他方法证明,发现可利用如下引理获得.

引理设直线l1,l2的方程分别为

A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0,

l1,l2相交于点P,直线l3的方程为

A3x+B3y+C3=0(AiBi≠0,i=1,2,3).

若存在实数λ1,λ2，使得

λ1(A1x+B1y+C1)+λ2(A2x+B2y+C2)=A3x+B3y+C3,

则l3也过点P.

证明设直线l1,l2交于P(x0,y0),则

A1x0+B1y0+C1=0,A2x0+B2y0+C2=0,

于是A3x0+B3y0+C3=0,即l3过点P.

下面证明性质2.

证明设A(acosθ,bsinθ),B(acosφ,bsinφ),C(acosγ,bsinγ),D(acosα,bsinα),则直线CS,BS的方程分别为

联立方程组解得

同理可得

则直线AB,CD,RS的方程分别为

根据三角公式,可将方程(1),(2),(3)分别化为

接着寻找是否存在实数λ1,λ2,使得

(4)

同理可证

注在性质2中,若弦AB,CD相交于椭圆外(或上)一点O′,则点R,O′,S也共线.

思考3双曲线或抛物线也有类似的性质吗？

性质3如图4,双曲线的弦AB,CD相交于点O′,过点A,D分别作双曲线的切线交于点R,过点B,C分别作双曲线的切线交于点S,则点R,O′,S共线.

证明类似于椭圆中的情形(略).

图4 图5

性质4如图5,抛物线的弦AB,CD相交于点O′,过点A,D分别作抛物线的切线交于点R,过点B,C分别作抛物线的切线交于点S,则点R,O′,S共线.

联立方程组解得

xS=2pt2t3,yS=p(t2+t3)，

同理可得

xR=2pt1t4,yR=p(t1+t4),

则直线AB,CD,RS的方程分别为

分别整理式(6),(7),(8)，得

令λ=t3-t4,l=t2-t1,可得

成立,因此点R,O′,S共线.

综合性质2～4可得圆锥曲线的一个统一的性质：

定理2圆锥曲线的弦AB,CD相交于点O′,过点A,D分别作圆锥曲线的切线交于点R,过点B,C分别作圆锥曲线的切线交于点S,则点R,O′,S共线.

[1] 张俊.圆锥曲线的一个优美性质[J].数学通讯,2012(6):23-24.