环面自映射在拓扑空间中的回归点*

霍振宏， 刘喜玲, 邹 成

(1.中原工学院 a.理学院；b.信息商务学院, 郑州 450007；2. 四川化工职业技术学院, 四川 泸州 646005)

环面自映射在拓扑空间中的回归点*

霍振宏1a， 刘喜玲1b**, 邹 成2

(1.中原工学院 a.理学院；b.信息商务学院, 郑州 450007；2. 四川化工职业技术学院, 四川 泸州 646005)

连续映射；邻域；周期点；回归点

1 概念与记号

设X为一拓扑空间,f∈C0(X,X)，用f0表示恒等映射，对任何自然数n，归纳地定义f1=f,f2=f°f,…,fn=f°fn-1.

用S1表示圆周,不失一般性，设圆半径为1,于是S1是平面上满足下列条件的点(x,y)之集：S1={(x,y)|x2+y2=1,(x,y)∈R×R}.有时，把Q(x,y)看成复数x+iy是很方便的.由于x2+y2=1，故用复数的三角形式e2πiθ=cos 2πθ+i sin 2πθ(0≤θ<1).可以把圆周S1上的点参数化.

下文中，用f表示f：S1×S1→S1×S1是环面上的连续自映射，用X表示环面S1×S1.

2 相关命题

命题1 设f为环面X上的连续自映射，则P(f)⊂R(f).

证明设(x,y)∈P(f)，则存在n>0，使得fn(x,y)=(x,y)，且fk(x,y)≠(x,y)，∀k=1,2,…,n-1. 则对于(x,y)的任意邻域U，有fn(x,y)∈U.根据回归点的定义可知(x,y)∈R(f)，从而由(x,y)的任意性可得，P(f)⊂R(f).

命题2 设点(x,y)是环面X上的连续自映射f的一个回归点当且仅当序列(x,y)，f(x,y)，f2(x,y)，…存在一个收敛于(x,y)的子序列.

证明(⟹)设(x,y)∈R(f)⟹对于(x,y)的任意邻域U，∃n>0，使得fn(x,y)∈U，由收敛定义可知，序列(x,y)，f(x,y)，f2(x,y)，…，必存在正整数序列m1,m2,…，使得子序列fm1(x,y),fm2(x,y),…收敛于(x,y).

(⟸)设序列(x,y)，f(x,y)，f2(x,y)，…，存在一个收敛于(x,y)的子序列，则对(x,y)的任意邻域U，∃n>0，使得fn(x,y)∈U，根据回归点的定义知，(x,y)∈R(f).

命题3 设f为环面X上的连续自映射，则R(f)=R(fn),n=1,2,….

证明显然，根据定义便有R(fn)⊂R(f).以下证明R(f)⊂R(fn).

设(x,y)∈R(f)，根据命题2，序列(x,y)，f(x,y)，f2(x,y)，…，有一个收敛于(x,y)的子序列.设这个序列为fm1(x,y),fm2(x,y),…，对于每一个i=1,2,…，令mi=kin+ri，其中ki≥0，0≤ri

(1)U1⊃U2⊃…⊃Un.

(2)fsij(Uj+1)⊂Uj,j=1,2,…,n-1.

(3)fnij(x,y)∈Uj,j=1,2,…,n.

这样，便有fsi1+si2+…+sin(x,y)∈U1，而si1+si2+…+sin≡0(modn).以上表明(x,y)∈R(fn)，因而，R(f)⊂R(fn).

命题4 设f为环面X上的连续自映射，J⊂X.如果J中没有f的周期点，即J∩P(f)=∅，那么

(1) 对∀(x,y)∈J，(x,y)的任一邻域U⊂X，总存在整数n>0，使得fn(x,y)∉U.

(2) 对∀(x,y)∈J，(x,y)的任一邻域U⊂X，以及整数n>0，若fn(x,y)∈J，则fn(x,y)∉U.

证明(1) (用反证法).假设条件(1)不成立，则有整数n>0，使得条件(1)不成立.条件(1)不成立，意味着存在点(x1,y1)∈J的邻域U1⊂X，使得fn(x1,y1)∈U1.

显然，等式fn(x1,y1)=(x1,y1)，若成立，J中就有f的周期点.这与命题中J中没有f的周期点矛盾，因此，fn(x1,y1)∉U1；若等式不成立，则存在n2>0，使得fn2(fn1(x1,y1))=(x1,y1)，由回归点定义及命题3知，fn2(fn1(x1,y1))∈U1，即J中就有f的周期点，这亦与命题4中J中没有f的周期点矛盾，因此fn2(fn1(x1,y1))∉U1.从而，对∀(x,y)∈J，(x,y)的任一邻域U⊂X，总存在整数n>0，使得fn(x,y)∉U.

(2) (用反证法)假设条件(2)不成立，则存在整数n1>0和(x1,y1)∈J的邻域U1，使得fn1(x1,y1)∈J且fn1(x1,y1)∈U1.由于若fn1(x1,y1)=(x1,y1)成立，明显与J中没有f的周期点这一假设矛盾，所以fn1(x1,y1)∉U1.由于fn1(x1,y1)∉U1，根据命题4结论(1)有：对任意整数n>0，(x,y)∈J，(x,y)的任一邻域U⊆X，有fn(x,y)∉U.由于fn1(x1,y1)∈J，因此，f2n1(x1,y1)=fn1(fn1(x1,y1))∉U1.再根据命题4结论(1)，可见对于∀(x,y)∈J，f2n1(x,y)∉U.若证明了对于某一整数k>0和∀(x,y)∈J，fkn1(x,y)∉U，那么由于fn1(x1,y1)∈J，有

f(k+1)n1(x1,y1)=fkn1(fn1(x1,y1))∉U1

从而根据命题4结论(1)，对∀(x,y)∈J，f(k+1)n1(x,y)∉U.根据归纳原则，得到结论：对任意整数k>0和∀(x,y)∈J，fkn1(x,y)∉U.也即是，对任何整数n>0，∀(x,y)∈J的邻域U，若fn(x,y)∈J，则有fn(x,y)∉U.

3 定理

证明(用反证法)假定f的回归点(x,y)既不是周期点也不是周期点的聚点，则存在(x,y)∈J⊂X，使J中没有f的周期点或周期点的聚点.根据回归点的定义，有整数n1>0，使得fn1(x,y)∈J.对(x,y)的任一邻域U，U满足命题4中的(2)，所以，fn1(x,y)∉U.由于fn1(x,y)∈J，令

J0=min{Ji|f1(x,y)∈J1,f2(x,y)∈J2,…,fn1(x,y)∈Jn1(i=1,2,…,n1)}

推论1 设f为环面X上的连续自映射,若P(f)是闭集，则R(f)=P(f)，从而R(f)也是闭集.

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Recurrence Point of Self-mapping for Torus in the Topological Space

HUOZhen-hong1，LIUXi-ling2,ZOUCheng3

(1.Department of Mathematics, Zhongyuan University of Technology, Zhengzhou 450007, China；2. College of Information and Business, Zhongyuan University of Technology, Zhengzhou 450007, China；3. Sichuan College of Chemical Technology, Sichuan Luzhou 646005, China)

continuous mapping ；neighborhood ; periodic point; recurrence point

1672-058X(2013)10-0005-03

2013-04-09；

2013-05-20.

霍振宏(1963-)，男，河南平舆人，副教授，从事应用数学研究.

**通讯作者：刘喜玲(1981-)，女，河南许昌人，讲师，硕士研究生，从事拓扑动力系统研究.

O189.1

A

责任编辑：李翠薇