Riemann－Liouville分数阶微积分及性质分析*

王瑞声

(宁德职业技术学院，福建 福安 355000)

一 Riemann－Liouville分数阶微积分的定义

作为微积分理论的发展，相关分数阶微积分的内容以及其概念早已深入人心，并且进入了更多的数学应用实践中，而我们也可以由Riemann－Liouville分数阶微积分的定义得知一些更为实际有用的理论。由微积分的知识可以知道，对于微积分的定义一定要严格要求，根据不同的简化方式可以得出不同的结论，而对一个函数求n(∈N)重积分可进行多层次的简化内容，简化之后能够形成的推广式即为其定义的一种表现形式。例如可以简化为aD－nt f(t)=1(n－1)!∫ta(t－ τ)n －1f(τ)dτ(1)，将(1)推广到非整数情形，这时我们能够看到的就是使用Gamma函数情形下分解而出的定义式了，只是通常情况可给出的不是这样的式子，而研究学家在使用过程中也并非是用此式。利用Riemann－Liouville分数阶积分的定义，如此结合定义1(Riemann－Liouville分数阶积分[1])才是作为研究学家常用的定义式。此外，还可以看到由此衍化而出的相对简便的推导:对于一个正实数α，那么，一个定义在[a，b]上的函数f(t)的α阶Riemann－Liouville分数阶积分定义为 aD －αt f(t)=1Γ(α)∫ta(t－τ)α －1f(τ)dτ(2)，其中Gamma函数的定义为 Γ(z)=∫∞0ettz－1dt，(R(z)＞0)。但是由于这种定义下所作出的求导会充分体现出分数阶微积分的定义有多种不同形式，正是这样的多种不同形式才会使其结果呈现多样化，无法同一而论。在这个定义求导式中，它具有如下两个性质:Γ(n)=(n －1)1，∀n∈Z+;Γ(z+1)=zΓ(z)，∀z∈C。各性质所呈现的运算形式不同，其中两者之间的运算关系也是大不同的了，由此导致出不同的运算结果和关系影响，这种影响在最初带来的并不严重，可是到后期却给应用带来了相当大的困难，以至于将整数阶导数与分数阶积分算子作复合运算。由上面所述的这些情况结合来看，可以按着推导公式给出如下分数阶导数的定义。这样的定义便是我们理论推导中常用的。定义2(Riemann－Liouville分数阶导数)对于一个正实数α和a≥0，令n－1≤αRiemann－Liouville分数阶导数[1]这个定义特别适合应用在非数学领域的研究中，主要是因为由此衍生的Caputo导数成立。由此可以推导出计算复杂性更为突出的类似的导数公式[1，2]。这样才能够增大大家对分数阶微积分的相关认识，由此做出了上述公式的推到，并且给大家一些常识性的依据，对于下面的文章整体叙述是有很大帮助的。目前定义2是整数阶导数公式的直接推广，其定义的运算关系也会比之导数公式的推到更加混乱，但是在在一般学术研究的情况下，还是可以进行较为针对性的推导，对于分数阶导数公式的要求和严谨性就不那么大了。这就是我们需要注意的计算复杂性大大增加的Riemann－Liouville分数阶微积分的定义。在对其定义及性质分析的同时，对周期函数，可先按Fourier级数展开，以这样的方法进行求导和推广，然后利用上述公式对级数逐项求导即可。这样的推导方式算是目前理论研究中最常用的，同样也是最为简单方便的，如果函数能够展开为幂级数，经过整理之后并能够证明了其分数阶微分的性质，则也可以通过这样快捷简单的方式做出更为充分的计算，这样的模式叫做进行行为下的求导。其中，作为主要方式的选择逐项求导得到了大多数数学研究学家的认同，以这种模式进行函数的分数阶导数的途径成为了国际间公认可靠有效的求导途径，结果也是准确的，这个是需要引起大家一定的目光和思考的，如果提高注意的话，就可以发现在很多这样经典的微积分里，经常会遇到老一辈常见的传统问题，这时没经验作为支撑的话，很可能会忽视而得不到解决。例如:常数的导数等于零，但在上面最后一个公式中如果取，那么常数1的Riemann－Liouville分数阶导数不为零。为此，本文有一定必要针对这类问题做出主要的分析和说明，针对Riemann—Liouville分数阶微积分的定义，帮助更多的数学应用学家做出基础性研究和资料，由此展开讨论。另外，由定义知，本文的主要工作将是针对RL分数阶微积分的定义以及常数的Caputo分数阶导数(不是分数阶积分)等于零的推导过程做出讨论和学术研究。

二 分数阶微积分运算性质及其证明

经过上述的定义推导公式证明，我们已经知道Riemann－Liouville分数阶微分是理论数学界常用的一些分数阶微分定义了，很多同类型的微积分运算公式都是可以以此类比得来的。我们针对这一定义及Riemann－Liouville分数阶积分定义的相关内容和数据，可以由此展开讨论，并得出一些有关它们的重要性质和基础数据，作为下面进一步推导和推广的重要依据。

由定义公式进行推导，不难证明它满足下列性质:

设f(t)，g(t)是满足定义1的函数，c，α为任一常数，ν，μ，λ 为分数，Re(ν)＞0，Re(μ)＞0，Re(λ)＞0，则:

性质1:Dμ(f(t)+g(t))=Dμf(t)+Dμg(t)

性质2:Dμ(af(t))=aDμf(t)

性质3:，Dμtα =Γ(α +1)Γ(α － μ +1)tα － μ，当1≤μ －α≤m 为整数时，Dμ(tα)=0。

证明:Dμtα =1Γ(m －μ)ddtm∫t0(t－x)m －μ －1xαdx(m －1＜μ≤m)

特别地，当1≤μ －α≤m 为整数时，Dμ(tα)=Γ(α+1)Γ(m－μ+α+1)Dm(tm －(μ－α))=0得证。

性质4:设 Qn(t，ν)=∑n －1k=0akΓ(ν +k+1)tk+v，则(1)D － νQn(t，0)=Qn(t，ν)(2)DνQn(t，ν)=Qn(t，0)(3)DμQn(t，0)=Qn(t，－ μ)(4)D－μQn(t，－μ)=Qn(t，0)(5)D － μQn(t，ν)=Qn(t，ν + μ)(6)μQn(t，ν)=Qn(t，ν － μ)(7)DμQn(t，－ν)=Qn(t，－(ν+μ))特别地，当 μ －ν≥n时，DμQn(t，ν)=0;当 0≤μ －ν≤n －1 时，DμQn(t，ν)=∑n－1k=μ－νakΓ(ν－μ+k+1)tk+ν－μ.

(1)证明:因为D －νtα =Γ(α +1)Γ(ν+α +1)tν+α

所以 D －νQn(t，0)=D －ν∑n－1k=0akΓ(k+1)tk=∑n－1

(2)证明:因为 Dμtα =Γ(α +1)Γ(α －μ +1)tα－μ

所以 DνQn(t，ν)=Dν∑n － 1k=0akΓ(ν +k+1)tk+ν=∑n－1k=0akΓ(ν+k+1)Dνtk+ν=∑n－1k=0akΓ(ν+k+1)Γ(ν+k+1)Γ(ν+k－ν+1)tν+k－ν=∑n－1k=0akΓ(ν+k－ν+1)tν+k－ν=∑n －1k=0akΓ(k+1)tk=Qn(t，0)

同理可证后面几个式子。本篇的主要工作就是针对分数阶微积分运算的几类常见性质做出分析，并引用Riemann—Liouville分数阶微积分的定义推导方式做出其证明，由此可得出极其具有针对性的R－L分数阶微积分的几大运算性质及其证明。有了以上定义和证明，便可充分地应用这些数据做出了澄清，以及理清了运算顺序交换的条件与关系。这是在给出的函数分数阶可微的充分条件上面做出的证明，也是本文最为重点的内容，及其性质分析的主要内容:如果函数f(t)在区间[a，b]上绝对连续，则f(t)在区间[a，b]上几乎处处 a(0＜a≤1)阶可微。

三 分数阶微积分的连续性及可微性研究

(一)关于函数的连续性

根据连续性的定义，我们能够做出基础性的分析，由此得出分数阶微积分的连续性规律及其重要的意义。为了让大家更清晰地了解这种连续性，有必要设计函数图像，这是最直观的展现形式。而理论则由函数f(x)在点0x处连续的充分必要条件可得，函数的连续性意义是必要存在的。尤其是当函数f(x)在点0x处同时满足下列三个条件时，该连续函数的体现在函数图上，表现为一笔画成的函数曲线:(1)f(x)在点0x处有定义;(2)f(x)在点0x处有极限;(3)f(x)在点0x处的极限值为该点处的函数值，即(lim00xfxfxx)。若上述三个条件之一不满足，则f(x)在点0x处间断。这样也就不足以构成连续函数的图像——那种所谓的可以一笔画成的曲线图形了。理论数据可以得知，这样的函数会在某处断开，而正是因为在某处间断，所以直观的表现在函数图标上就是某处会断开的，这个现象是一定会发生的。因此不可能再是一笔画成的函数曲线图像。

为了使分数阶微积分与整数阶微积分和谐、统一，就要求了我们在做分数阶微积分的研究时一定要注意其连续性的要求，进而使实数阶微积分的理论向这里靠近，由此能够得出相关的连续性研究数据，由此可以进一步将理论依据系统化，构建属于自己可用的大规模数学模型。这样的操作也是为了数学工程实际应用而做的，因为理论是提供给时间的重要依据，是必须存在的，并且需要有便于应用的性质。

(二)关于函数的可微性

关于分数阶微积分的连续性和可微性都算是理论数学中微积分概念的基本常识和基础性概念。在做这些概念基础上的讨论和研究时，必须将这些常识理清楚，否则无法正常顺利地进行下去。普遍认为连续函数一定是可微的，这个在近几年也被许多数学家证明、证实过。在今天对一个学过高等数学的学生来说，已经不能够单单认为这样一个例证了，必须通过自己的方法来进行证明，否则将会犯下不可原谅的错误，然而即使是伟人也会犯错误，关键在于自己有没有例证，有尽努力证明过而犯了错跟没有证明就片面化举出而犯了错是不一样的。这里证实了连续函数的精准性定义，将其跟可微性性质区分开来。并得到大多数人认同。在这篇论文中表示开始对函数性质的仔细研究是有必要的。并且，通过这样一个用极限概念给出的例证，在当时以及现代理论数学界都具有一定意义。

波尔察诺在1824年觉察到了连续函数和可微性的区别。并且通过自己的大量理论研究和基础数据研究，给了大家一个极具学术性的论题讨论，向大家说明了分数阶微积分的重要特性和主体特征，正是由于这些特令独行的象征使得可微性与连续性真真正正的区别开来，并得到大家认同，这个是最早明确地以几何形式(1830年)给出的区别讨论研究，向大家证实了微积分理论中的一个经典例子。

直到1872年，魏尔施特拉斯才正式地将这一个概念以通俗易懂的形式讲解给听众，通过一致收敛级数，在柏林科学院用了比较可靠的分析式和数据模型设计了经典的理论解说，并且在这一次讲演中给出了历史上第一个关于微积分函数连续性和可微性区别的正确理论依据，即处处连续而处处不可微函数的经典例子:其中f(x)在点0x处为奇整数，f(x)在点0x处有极限为实数，则此处不可微。

由此得出的关于连续性与可微性差异的重大发现，是理论数学上的一大重要发现，应用在分数阶微积分上面的理论实践意义也是极为重大的标志。也是由此才引发了人们对于几何直观思维的反思，大家开始注意到关于这类函数的推导过程是存在漏洞的，并不能仅仅依靠几何直观的思维方法进行推导，这样子推导出来的理论有时是靠不住的。必须要经过严谨严密的思维反推。

[1]徐明瑜，谭文长.中间过程、临界现象—分数阶算子理论、方法、进展及其在现代力学中的应用.中国科学(G辑:物理学力学天文学)，2006，36(3):225 －238.

[2]王在华.胡海岩.含分数阶导数阻尼的线性振动系统的稳定性[J].中国科学(G 辑:物理学力学天文学)，2009，39(10):1495—1502.

[3]陶然，邓兵，王越.分数阶傅里叶变换及其应用[M].北京:清华大学出版社，2009.