浅淡高等数学中的概念教学

孔祥文

摘 要：高等数学强调对概念、法则的深刻理解，教师在讲解概念时要善于从实际中的例子引入新的概念，激发学生学习高等数学的兴趣。

关键词：高等数学；概念；学习兴趣

高等数学是普通高校的一门必修基础课，许多后续课程都与这门课程相关。随着高新科技的不断发展，数学在各领域得到广范应用，数学的地位与作用日益提高，数学已经不仅仅是学习后继课程和解决科技问题的工具，而且是培养理性思维的重要载体。对培养学生的逻辑思维能力、分析问题解决问题的能力、建立数学模型的能力，对开阔学生思路，提高学生综合素质等，都有很大帮助。

中学数学的常识性比较强，强调技巧，而高等数学则强调对概念、法则的深刻理解。所以引导学生理解并牢固掌握数学概念是学好数学公式、定理、方法，从而提高数学能力的基础。而数学概念本身就抽象且逻辑严谨，有的学生本身的数学基础比较差，又没有正确的学习态度和学习方法，使得好多学生对高等数学望而却步，更谈不上学习兴趣。在教学实践中要有效地提高学生学习数学的积极性，首先要提高学生学习数学的兴趣。

高数中的数学概念都是来自实际中具体问题的抽象，所以概念的引入不宜直接抛出，而应把概念的发生，形成，探索过程呈现出来，一个概念产生发展的过程都要经过很多人的参与和努力，那些普遍存在的东西怎样一次次左右我们的思想，数学家是怎样对所接触的材料进行整理，引进术语，给出定义的。这样，概念的出现不致使学生感到突然、莫明其妙，而是感到自然。更重要的是，能使学生对概念作更探层次的理解，养成科学的思维习惯，提高学生发现问题和解决问题的能力。

俗话说：“教无定法，贵要得法。” 大多数概念由于它的抽象性，常使学生感到不可捉摸，这时应当为学生提供一个概念的模型，这个模型可以是一个特别例子、一个生动比喻、一个实在事物，一个美好的故事。让学生容易理解和接受。在讲解分段函数时，就可以引入日常生活中常见的电话吧，利用函数求它的收费。在讲数列极限概念时，可先介绍数学史中极限产生的思想，比如我国古代，战国时代的《庄子·天下篇》中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的名言。其意是所余部分总可一分为二，永远取不完，这是公元前三世纪的事，当时还没有提出极限的概念。到了公元三世纪，我国三国时期杰出的数学家刘徽，基于《庄子》的无限分割思想，在注《九章算术》时订正了圆周率（周长与直径之比）是周三径一之误，他在计算圆周率的过程中创立并使用了极限方法。刘徽为了定义和计算圆的周长，创立了“割圆术”，他用圆内接正多边形的周长近似代替圆的周长与圆直径作比值来求圆周率，实际上内接正多边形边数越多，它的周长就越接近圆的周长，最后求出了圆内接正3072边形的周长，与圆直径相比，化成小数为3.1416，毕竟3072并不是个很大的数，所以算出的圆周率精度不是很高。后来南北朝的天文学家、数学家祖冲之继续用刘徽的“割圆术”把圆周率算到小数点后7位。刘徽指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”虽然自己只能做到有限步，但他相信，如果无限做下去，即内接正多边形的边数是无限多的，则正多边形周长将无限趋于圆的周长，也只有在无限的过程中，才能真正做到“无所失”，这样算出的应该是圆周长的精确值。

为了让学生更好理解极限是“可望而不可及”，可以给学生发一张面积为1平方分米的正方形簿纸片，让学生做对折实验，学生可得到一个数列，显然对折的次数越多，手中

纸片的面积将越小，这样无限对折下去，手中的纸片面积将无限向“0”靠近，但不会等于“0”，也就是不会在对折中突然纸片消失不见了。因此，“0”是该数列当n无限增大时的极限，该数列会无限向“0”逼近，但永远到不了“0”。在教材上表示上述极限的公式为，注意极限符号不能丢，因为。

在“连续”概念的教学中，可以从日常生活中所观察到的连续变化现象出发，得到连续变化现象的本质特征，再由此得到“连续”的数学定义。在教学中可以用一个未成年小孩子的身高为例。未成年孩子的身高显然是随着年龄的增长而增高的，也就是说身高y是时间t的函数，而且身高不会发生突变，也就是说它是连续变化的。一个与父母亲天天生活在一起的孩子，细心的父母并没有觉察到自己的孩子今天比昨天长高了多少，这是为什么呢？因为时间间隔很小，孩子身高增长也很少。用数学术语讲就是，自变量时间有微小变化时，身高函数的相应变化也是很微小的，以致即使极细心的父母，也发觉不了自己的孩子一天内的身高增加了多少。因此，连续变化现象的特征是：当自变量有微小变化时，函数相应的变化也很微小。那么怎样刻划自变量和函数的变化呢？很自然地就引进了“改变量（或增量）”的概念。高等数学中记为符号?x和?y，则连续变化现象的特征翻译成数学语言就是：当?x极其微小趋于0时，相应?y也极其微小趋于0，即有连续定义式。

导数（）概念同高等数学其它概念一样，也是客观世界中具体问题在数量关系上的抽象，教材上是由变速直线运动的速度问题和几何上切线问题引入的。讲解时最好从具体的例子开始，比如一辆汽车在10小时内走了600公里，它的平均速度是60公里/小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60公里/小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为，那么汽车在由时刻

t0变到t1这段时间内的平均速度是，当t1与t0很接近时，汽

车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0到t1这段时间内的运动变化情况，自然就把平均速度

的极限作为汽车在t0时刻的瞬时速度v（t0），用数学符号表示为，如令?x=t1-t0，则上式又可写为

。又在几何上的切线问题中，先画出

曲線图形，任一点（x0，y0）处作切线，在切线倾角未知的情况下是不能直接求切线斜率的。经过分析，切线是割线的极限位置，所以先求得割线斜率，然后得x0处切线斜率

。这样从两个实际意义完全不同的问题分

析中得到完全相同结构的极限。数学上去除它们的实际意义，把这种特殊结构的极限取名为导数。即导数的实质就是函数改变量与自变量改变量之比当自变量改变量趋于0时的极限。这一比率反映了变量变化快慢的程度。所以导数又叫变化率。

函数告诉我们变量之间的对应关系，极限告诉我们在自变量某一变化过程中函数变化的趋势，连续是讨论自变量改变量趋于0时相应函数改变量是不是也趋于0，而导数是讨论函数改变量与自变量改变量之比当自变量改变量趋于0时的极限。至此，并没有讨论函数在某点当自变量取得一个微小改变量?x时，相应函数改变量?y到底有多大。而微分就是要解决这样一个问题。引进微分概念时，也从一个具体例子出发。比如一块正方形均匀铁皮，边长为x，面積为S，因热胀冷缩，边长改变量为?x，求面积S的改变量?S。显然

上式?S可由两部分组成，第一部分是关于?x的一个线性函数，第二部分（?x）2当?x→0时是比?x高阶无穷小的。实际中当?x很小时，第二部分比第一部分要小得多，是可以忽略不记的。比如当x=2，?x=0.01时，第一部分2x?x=0.04，第二部分（?x）2=0.0001，所以决定?S大小，起主要作用的是第一部分，第二部分往往可忽略不记。

第一部分即?S的线性主要部分地位就显得很重要了，数学上要把这一部分单独拿出来加以研究和讨论并取一个新的名字“微分”。再由此例推广到一般情形，得到微分的数学定义，学生就更容易接

受了。

再如，在定积分的概念讲解时，教材上是以曲边梯形的面积为例，进行分割、近似计算、求和、取极限四个步骤来引入定积分定义的。由于这是一个比较难理解的概念，可以把它和一些趣味性的故事联系在一起。曹冲称象的故事想必大家都听过，“时孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理。冲曰：置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣。”他就是把一个整体化为部分来解决大象的体重问题。这就可以把曲边梯形和大象做比较，把大量的石块和分割的小曲边梯形相联系。把问题得以通俗化。

教师是整个高等数学教学活动中最活跃的因素。如何引入一个新的数学概念，让学生能够轻松地接受新的概念，是每一个教师在教学中都应重视的问题。教师一定要充分担当好领引者的角色，在日常教学工作中要结合实际，不断提高自身素质，潜心研究教学方法，不断总结，逐步积累教学经验，这样才能够不断增加高等数学的魅力，激发学生的学习兴趣。