银行间同业拆借市场利率扩散模型及实证

谷 伟

(中南财经政法大学 统计与数学学院，武汉 430073)

0 引言

利率是生活中常见的经济变量，一直是市场各方关注的焦点之一，特别是短期无风险利率，它对其他金融产品的定价和利率风险的管理起着非常大的影响。近年来，许多学者提出了各类模型来拟合短期利率数据，其中一种是利用随机微分方程所控制的扩散过程来描述利率的随机行为。这方面的期限结构模型主要有：Merton(1973)[1]模型、Vasicek(1977)[2]模型、CIR(1985)[3]模型、CKLS(1992)[4]模型等，它们均是通过对随机微分方程设定不同的漂移项和扩散项来获得的。如何利用观测到的数据来快速、准确的估计利率扩散模型中的未知参数，以及哪个模型对数据的拟合程度最好，这些都是研究的热门问题。

考虑如下由一维随机微分方程所控制的扩散过程模型

其中θ是未知参数向量，Xt表示瞬时利率，漂移项μ(Xt;θ)表示 Xt的瞬时均值，扩散项 σ(Xt;θ)表示 Xt的瞬时方差，μ(Xt;θ)和 σ(Xt;θ)是非线性函数，Wt是一维标准维纳过程。假定扩散过程Xt在时间点0=t0＜t1＜...＜tn=T上有离散观测值Xobs=(x0,x1,...,xn),且Δ=ti-ti-1为常数。

对于扩散过程模型(1)的参数估计问题，Hansen(1982)[5]研究了在计量经济模型假定下，GMM估计量的一致性结果以及渐进分布等问题；Lo(1988)[6]用极大似然法得到参数估计；Pedersen(1995)[7],Brandt&Santa-Clara(2002)[8]提出了模拟极大似然估计法；Durham&Gallant(2002)[9]比较了各种连续时间扩散过程似然估计的数值方法，并将估计方法扩展应用到随机波动模型，Ait-Sahalia(2002,2008)[10.11]提出了Hermite多项式近似法。本文采用Hurn[12]提出的一种基于偏微分方程的估计方法，该方法通过数值求解与扩散模型相关联的偏微分方程(PDE)，获得转移密度函数的近似解。同时，考察中国银行间同业拆借市场利率的多个单因子模型，应用该方法进行参数估计，并引入AIC准则进行模型识别。

1 基于C-N差分的偏微分方程估计方法

如果扩散过程Xt的转移密度 p(xt|xs;θ)(s＜t)已知，则可得如下似然函数

其中 p(Δ,xi|xi-1;θ)是两观测值 xi-1和 xi间的转移密度函数。则θ的估计值可通过最大化式(2)，也可最小化(3)

事实上，X的转移密度函数通常都是未知的，如何获得 p(Δ,xi|xi-1;θ)，则成为一个关键问题。本文考虑了基于偏微分方程的方法近似 p(Δ,xi|xi-1;θ)。

假 定 p(Δ,xi|xi-1;θ)≡p(ti,xi|ti-1,xi-1;θ)，并 记p(t,x)=p(t,x|ti-1,xi-1;θ)，Karatzas and Shreve(1992)[13]指出转移密度函数 p(t,x)是以下Fokker-Plank偏微分方程的解

假定扩散过程X=(x0,x1,...,xn)的取值区间为[a,b]，则(6)应满足如下初值条件

和边值条件(Hurn等[12])。

其中 δ(·)为Dirac delta函数。求解(6)～(8)可获得相应的转移密度函数，但Dirac delta初值函数的处理成为一个棘手的问题，Jensen和Poulsen(2002)[14]指出，可以选择均值为 xi-1+μ(xi-1;θ)Δt，方差为 Δtσ2(xi-1;θ)的正态分布作为初值函数的近似。

采用有限差分法求解方程(6)，把区间[a,b]等分成N份，取步长为 Δy=(b-a)/N ，其中节点 yi=a+iΔy(i=0,1,…,N)，同时把时间区间[ti-1,ti]以步长Δt=(ti-ti-1)/m等分成m份，其中节点ti,j=ti-1+jΔt,(i=1,2,…,N,j=0,1,…,m)。记 r=Δt/(Δy)2，μi=μ(yi)，σi=σ(yi)，=p(ti,j,yi)，则(6)的离散格式为

事实上，(9)是通过Crank-Nicolson差分法对(6)进行离散获得的。

假定 p(t,x)的解落在区间[y0,yN]或区间[y0,∞]上，漂移项和扩散项满足μ(y0)≥0，σ(y0)=0，可以认为在边界点y0处没有累积任何密度，则可取 p(t,y0)=0。然而在边界点 yN处，通过离散边值条件(8)，且令(9)中i=N-1，可得如下格式

若取 p(t,y0)=0(否则，可获得类似(10)的结果)，则离散格式(9)的起始迭代为

结合(9)～(11)，最终，可得如下矩阵形式的差分格式

其中AL和 AR是(N+1)×(N+1)矩阵，pi是包含转移密度函数…,的(N+1)维向量。

2 单因素利率扩散模型及AIC准则

对(1)中的漂移项和扩散项作不同的假设，可得不同的利率扩散模型。Merton(1973)是最早用随机微分方程描述利率变化随机行为的，Vasick(1977)说明了利率具有均值回复的特征，此后又涌现出了众多模型，见表1所示。

从表1可以看出，所有模型的漂移项均为扩散过程Xt的线性函数，模型1～4是模型5的特殊形式，而模型6是模型3的一个变换模型。在模型5中，θ1表示利率的均值回复速度，θ2表示利率的均值回复水平，θ3表示利率的波动系数，θ4表示粘性系数。

表1 单因子利率模型表

为从众多模型中选择一个最为合适的模型来拟合实际数据，我们引入了AIC准则[14]进行模型识别。

3 实证分析

本文收集了1996年2月至2010年3月中国银行间货币市场的拆借利率IBO007，所使用的是每月加权后的平均利率，共计170个月度数据(数据来源：中国货币网，www.chinamoney.com.cn)。由于拆借利率按单利计算，不妨按下述公式将其转换为等价连续复利：R(t)=52ln(1+r(t)/52)，其中r(t)表示观测的加权平均利率，R(t)表示转换后的连续复利。可以获得变换后170个数据的描述性统计特征，均值：0.0381，标准差：0.0292，偏度：3.8662，峰度：1.5273，最大值：0.1124，最小值0.0102，其时间序列图如图1所示。

图1 连续复利R(t)的时间序列图

从时间序列图上看，从1996年2月到1999年12月，2006年5月到2009年1月这两个期间内数据波动比较厉害，前段时期是中国货币政策发生重大调整的时期，后段时期是受次贷危机的影响而频繁调整货币政策。

表2列出了利用R(t)获得单因子模型的参数估计结果，模型1和2的参数估计的标准误差相对较大，故这两个模型的估计结果不可靠，不适合于对利率数据进行建模。对比模型3、4、5和6的AIC值，模型3的AIC值最小，其次是模型5，也就是说，对于所考察的样本数据拟合最好的是CIR模型，其次是CKLS模型。且由估计结果可知，利率的均值回复水平是0.025，这意味着中国利率的长期水平值是0.025，当利率低于这个值时，利率有上升的趋势，反之，有下降的趋势。

表2 单因子利率模型的参数估计，括号内为参数估计的标准误差

4 结论

本文采用基于偏微分方程的估计方法对多个单因子利率扩散模型进行参数估计，并引入了AIC准则进行模型拟合效果的对比。考虑了这种估计算法在中国银行间货币市场拆借利率中的应用，在所考虑的样本区间内，拟合效果最好的是CIR模型，其次是CKLS模型，且由估计结果可知，利率的均值回复水平是0.025。

[1]Merton.Theory of Rational Option Pricing[J].Bell Journal of Economics and Management Science,1973,（4）.

[2]Vasicek,O.An Equilibrium Characterization of the Term Structure[J].J.Finan.Econom,1977,(5).

[3]Cox,J.C.,Ingersoll,J.E.,Ross,S.A.A Theory of the Term Structure of Interest Rates[J].Econometrica,1985,53(2).

[4]Chan,K.C.,Karolyi,G.A.,Longstaff,F.A.,et al.An Empirical Comparison of Alternative Models of the Short-term Interest Rate[J].Journal of Finance,1992,(47).

[5]Hansen,L.P.Large Sample Properties of Generalized Method of Moments Estimators[J].Econometrica,1982,50(4).

[6]Lo.,A.W.Maximum Likelihood Estimation of Generalized Ito Processes with Discretely Sampled Data[J].Econometric Theory,1988,(4).

[7]Pedersen,A.R.A New Approach to Maximum Likelihood Estimation for Stochastic Differential Equations Based on Discrete Observations[J].Scand.J.Stat.,1995,(27).

[8]Brandt,M.,Santa-Clara,P.Simulated Likelihood Estimation of Diffusions with an Application to Exchange Rate Dynamics in Incomplete Markets[J].J.Financ.Econ.,2002,(63).

[9]Durham,G.B.,Gallant,A.R.Numerical Techniques for Maximum Likelihood Estimation of Continuous-time Diffusion Processes[J].J.Bus.Econ.Stat.,2002,20(3).

[10]Ait-Sahalia,Y.Maximum Likelihood Estimation of Discretely Sampled Diffusions:a Closed form Approximation Approach[J].Econometrica,2002,(70).

[11]Ait-Sahalia,Y.Closed-form Likelihood Expansions for Multivariate Diffusions[J].Annal.of Stat.,2008,36(2).

[12]Hurn,A.S.,Jeisman,J.,Lindsay,K.A.Transitional Densities of Diffusion Processes:a new Approach to Solving the Fokker-planck Equation[J].J.of Deriv.,2007,(14).

[13]Karatzas,I.,Shreve S.Brownian Motion and Stochastic Calculus(2ndEdtion)[M].New York:Springer-Verlag,1992.

[14]Uchida,M.,Yoshida,N.AIC for Ergodic Diffusion Processes from Discrete Observations,Preprint MHF 2005-12,March 2005,Faculty of Mathematics,Kyushu University,Fukuoka[Z].2005.