基于Adams的3自由度并联机构运动学分析

范宇超，李 强，魏永庚，毕永利

（黑龙江大学 机电工程学院，哈尔滨 150080）

0 引言

3自由度并联机构在加工生产线上大量使用，并联机构与串联机构相比有着独特的优越性，如它具有机械结构简单、精确度高、响应速度快、适应能力强等特点。近些年，由于并联机构［1］的实用性非常强，正被国内外许多企业重视。而且并联机构运动学又是描述各关节与结构之间的运动关系，是设计过程中的基本环节。本文将以3UPU 型并联机构为例，对其进行运动学分析［2］和仿真。

1 并联机构的位置分析

这里研究3UPU 的并联机构是由动平台、静平台和3 条腿组成的。U 代表胡克铰（universal pair），P 代表移动副（prismatic pair）。其运动形式是通过每条腿上的两个胡克铰和一个可伸缩的连杆（由两个连杆和一个移动副组成）协调配合的，使得动平台在规定的空间平动。而其中位置运动的正解和逆解又是运动学研究的核心内容。

1.1 运动学逆解

已知动平台的空间位置［3－4］和姿态，求解静平台的3个控制电机的旋转角度，也就是3个驱动臂相对于定平台的张角或连杆的长度这叫做位置逆解。通过解析法求出3UPU 并联机构位置逆解的解析解。

1.1.1 位置矢量方程的建立

如图1所示建立笛卡尔坐标系。基准坐标系为O－XYZ，O点为ΔA1A2A3的外接圆圆心，X轴与OA同方向，Z轴垂直于XOY面，方向向上。用右手螺旋定则判断纵坐标指向。运动坐标系以P点为原点并且在XOY的投影与点O重合，并且与Z轴方向一致，P为ΔB1B2B3的外接圆的圆心，X′轴与PB1同方向。动平台和静平台的相似比为t，Δr为动静平台的半径之差。

图1 3UPU 并联机构坐标系Fig.1 3UPU parallel mechanism coordinate system

由于动平台和静平台相似，所以有：

分别用n1，n2，n3表示单位向量；OA1、OA2、OA3表示静平台的3 个方向向量；PB1、PB2、PB3表示动平台的3个方向向量，则每个支链的向量图见图2。

由图2可得：

图2 分支向量图Fig.2 Vector diagram of branch

1.1.2 位置反解分析

位置反解定义：位置反解就是已知机构的执行器末端的位置和姿态，求解输入装置的位置和姿态的过程。

由式（2）可得：

将式（3）进行表量化可得：

将单位向量带入式（3），可得到各个杆件长度的计算式：

如果已知x、y、P的值，由式（3）、式（4）、式（5）直接求出每个连杆的长度，即可求出3UPU 并联机构位置逆解的解析解。所以，动平台中心坐标点P（x，y，z）的求解至关重要，如果它确定了，那么每个连杆的长度也就唯一确定了。

以半径为100mm 高为200mm 的运动空间为研究对象，且动平台的高度为800～1 200mm，利用Matlab［5］编写程序即可得出在这个范围内的所有杆长的实际值。

1.2 运动学正解

已知3个驱动臂相对于定平台的张角或连杆的长度，求动平台的空间位置和姿态叫做位置正解。由于已确定工作空间的运动范围，所以不用再求解运动学正解。

2 运动学仿真研究

Adams是由Mechanical Dynamics Inc.公司开发的是集仿真建模、求解、可视化技术于一体的虚拟样机软件。使用这套软件可以产生机构繁琐的机械模型的建模仿真，真实地复现其运动过程，通过分析与计算可快速地提出方案的制定，缩短研制周期和节省经费。

2.1 模型的建立

由于Adams软件中内部Solver模块具有强大的功能，能通过其进行非常方便的位置求解。但是Adams［6－8］的建模功能在精度上稍差一些，尤其是越复杂的机构，其精度也就越差。本文中采用其他软件来进行弥补，最终实现无误差输入和仿真，达到最优控制。首先通过ProE 建立机构模型，再将其以Parasolid 文件格式导入到Adams／View 中，准确完成模型输入，为下一步工作奠定基础。实体建模、准确模型分别见图3、图4。

图3 实体建模Fig.3 Solid modeling

模型导入后，在View 中对构件与构件之间添加运动约束关系。在Tools工具Model Verify中最后一页查看自由度是否为3，如果不是，说明运动副添加错误；反之，模型建立正确，进行下一步分析。

2.2 仿真分析

图4 准确模型Fig.4 Accurate model

通过位置逆解可知，只要知道动平台中心位置P点的运动轨迹［9－10］，通过式（5）即可得出每个连杆的长度。但是在工作空间给定的前提下，如果通过手工计算，则计算量非常大，而且不准确，这样直接导致后续工作实物加工及控制不准确。这时可以考虑利用Adams软件进行非常快速而简便的求解。具体步骤如下：①对机构定义材料：若选用钢材，这样系统就会自动在每个构件上出现质心坐标；②分别对动静平台的质心坐标进行参数化设计，这样有利于后续的测量和捕捉；③对动平台的中心位置P加上一般点运动，由于已知工作空间为直径200mm 高200mm 的圆柱体，工作平台的加速度为2m／s2。分别对点P的3个方向进行定义一般点的驱动函数：

需要说明的是XOY面，工作平台做的是半径是100mm 的圆周运动，而Z轴方向做的是加速度为2m／s2的加速运动，其驱动是通过绘制样条曲线给出的。

通过Adams后处理模块得出的点P位置轨迹见图5，通过点P的X、Y、Z轴的坐标与逆解式（5）联立，即可得到3个杆的长度变化曲线，这部分可由Matlab软件来完成。其作用是通过软件求解在仿真状态下的杆长，与实际范围内的杆长值进行对比，结果表明与实际计算的杆长相符合。

上下连杆间移动副的速度、加速度变化曲线见图6，通过其值可以算出电机的输出扭矩。

图7表示整个3自由度并联机构搭接完成后，通过设置仿真时间为20s和步长500而运行出来的轨迹截图，其中上面的螺旋线为动平台中心P点的运动轨迹。

图7 动平台整体运行轨迹图Fig.7 Moving platform overall trajectory diagram

根据以上信息和运动轨迹曲线，可以通过前面得出的实际杆长与仿真结果进行对比，观察结果是否一致。如果不一致，查找原因并继续修改参数。反之，符合标准即达到所期望的轨迹曲线。

3 结语

通过对3UPU 并联机构的分析，可由建立笛卡尔坐标系和坐标变换来建立矢量方程，求出符合要求的位置逆解方程组。再利用Matlab进行求解实际杆长，通过Adams仿真建立仿真模型，最终验证并联机构与理论是否一致。此方法缩短了设计周期，提高了工作效率，为该机构的进一步研究打下基础。

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