固体物理学教学中的模型化研究*

任恒峰 王清亮 赵 龙

(忻州师范学院 山西忻州 034000)

固体物理学是研究固体的性质、微观结构及其各种内部运动，以及这种微观结构和内部运动同固体宏观性质关系的学科。固体的内部结构和运动形式非常复杂，固体物理学的研究内容也变得越来越丰富，手段随之也越来越多样化，而与之相应的传统固体物理教学内容与方法都比较滞后［1］，难以满足学科自身的发展和学生培养目标的要求，难以跟上现代社会的发展。传统固体物理课程内容结构体系是以长程有序的晶体为研究对象、研究晶体的结构、晶格动力学和能带理论等为主要内容［1］。进入21世纪后，随着科学技术的飞速发展，特别是纳米科学与技术在全球呈爆炸式的发展对固体物理课程教学提出了即时现代化改革的紧迫要求［1］。这就需要教学者对固体物理学的教学进行多角度、多方位的变革。本文结合固体物理学中的一些模型进行系统化研究，列举固体中的一些基本模型，阐述其各自特点并且找出其共有特性;并且讨论在固体物理学的教学过程中如何贴切使用模型特点，找出适合固体物理学教学的方案。

固体物理学中的主要模型大体上有下述几种。

1 一维单原子链模型

一维单原子链的晶格具有周期性，其振动膜为格波。格波和一般连续介质波相类似，但也有它不同的特点，它的格波形式解可写为:

它与一般连续介质波:

上面的讨论只适用于无穷长链，对于有限长原子链而言，两端的原子和内部原子不同，为了解决这个问题，玻恩卡曼提出包含N个原胞的环状链作为一个有限链的模型，它包含有限数目的原子，且所有原胞完全等价。一维单原子链采取波恩——卡曼条件之后，一维单原子链变成了一个近似直线振动的一维单原子环。这相当于给原子链附加了一个周期性边界条件，这样做的结果使得考虑了边界条件之后，一维有限长原子链问题与无限长问题非常类似:内部各原子的振动都是近似在一条直线上运动的，并且保证所有原子完全等价。这与未采取玻恩——卡曼条件之前的区别在于必须考虑到链的循环性，若不采取波恩——卡曼条件，在只有近邻相互作用时，中间的原子分别受到两边相邻原子给它的作用，而两端的两原子则都各只受一个近邻作用。因此，两端原子与中间原子的运动方程不同，从而使得它的运动规律非常复杂。为了避免这种情况，波恩——卡曼提出的环状链作为有限链的模型，使得计算大大简化，并且对结果没有影响。

2 晶格量子热容模型

固体热容主要由晶格热容和电子热容组成，只有在极低温度下，电子热容才有贡献，且贡献很小，所以往往讨论的热容仅限于固体的晶格热容。对于晶格热容而言，只要知道简正振动的频率，就可以直接根据热容公式写出热容。但对于具体晶体，计算出3N个简正频率是一件不可完成的任务。在一般讨论时，常常采用爱因斯坦模型与德拜模型。

2.1 爱因斯坦模型

爱因斯坦假设晶格中各原子的振动可以看作是相互独立的，所有原子都具有同一频率ω0［2］，每个原子有三个自由度，则整个晶体共有3N个频率为ω0的振动。与经典理论相比，爱因斯坦的这种理论改进十分显著，它基本上能够反映出Cv随温度下降的趋势，并且与实验数据基本吻合。但是在极低温度下，晶格热容以T3趋于零，而爱因斯坦热容则比T3更快地趋于零，这与实验偏差较大。这是由于爱因斯坦模型过于简单，因为在极低温度下，晶格热容主要取决于长声学波。爱因斯坦把所有的格波都视为光学波，则没有考虑长声学波在极低温时对热容的重要要贡献，这也表现出爱因斯坦模型存在一定的局限性。

2.2 德拜模型

在低温范围内，爱因斯坦理论值下降很陡，与实验不符，为了解决这一问题德拜考虑到了晶格振动的频率分布。德拜模型的基本思想是:把格波作为弹性波来处理。他对晶格采取了一个很简单的近似模型，从而得到了非常重要的近似频率分布函数，他认为，如果从宏观力学的角度而不是原子理论来进行分析，晶体可以视作连续的弹性介质。德拜也正把晶格当作弹性介质来处理的，他具体分析的是各向同性的弹性介质，在这种情况下，对于一定的波数矢量→q，有一个纵波ω=c1q和两个独立的横波ω =c1q［2］。这表明，纵波与横波具有不同的波速，在德拜模型中各种不同波矢→q的纵波和横波，构成了晶格的全部振动模［2］。

德拜模型的量子热容在高温情形下与经典理论相一致，而且在极低温度下与实验也是相符的，并且温度越低符合程度越好。因为在低温极限时，热容决定于最低频率的振动，这些正是波长最长的弹性波。根据德拜理论可以得出，在极低温度下，热容与T3成正比，这种规律称为德拜T3定律。在德拜模型中，起到关键作用的德拜温度ΘD都是间接由实验来确定的，所测出的德拜温度ΘD应是一个与温度无关的常数，但事实上，根据实验所测出的CV而定出的不同温度下的ΘD却不同，表明它与温度有关。ΘD理论值与实验值有偏差的原因在于德拜模型忽略了晶体的各向异性，忽略了光学波和高频声学波对热容的贡献，这在一定程度上体现了德拜模型的局限性。

晶格热容的这两个模型的建立是逐步递进式发展起来的，并且具有承上启下的重要作用。爱因斯坦模型在晶体的热容问题中引入了量子力学的相关理论，并且在做了基本简单的近似之后给出了比较符合实验事实的热容理论;而德拜模型则是在爱因斯坦模型的基础上，做了进一步的修正，找出原有模型的缺陷之处进行大胆的假设和简单近似，从而使获得的理论更加的细致、更加的符合实验事实。在固体物理学的教学中，充分挖掘晶格热容的两个模型特点，不仅可以使得学生加深对热容相关理论的理解，而且还可以为学生发现问题、解决问题提供一套合适的方式。

3 固体能带模型

能带理论是研究固体中电子尤其是价电子运动规律的主要理论基础，它是在确立了量子力学运动规律以后，借助量子力学相关理论研究金属电导理论的过程中逐步发展起来的，最初的成就在于定性的解释了晶体中电子运动规律的普遍性特点［4］。

固体中存在大量的电子，各电子的运动相互关联，每个电子的运动都不是独立的行为，都要受到其它电子运动的影响［3］。能带理论是一种单电子近似的理论，它把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。对于价电子而言，其等效势场，包括离子实的势场、其它价电子的平均势场以及考虑电子波函数反对称性而带来的交换作用［3］。能带理论的根基在于固体中的电子不再束缚于个别原子，而被整个固体共有，称为共有化电子［3］。对于共有化电子而言，假定原子实处在其平衡位置，把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰［3］。理想晶体中原子规则地周期性排列成晶格，因而整个晶格具有周期性，则等效势场也应具有相应的周期性。晶体中电子的波动方程为:

以此为基础，固体能带理论在发展的过程中，建立了赝势、近自由电子近似、紧束缚近似等进一步的近似模型。

3.1 赝势模型

赝势即在原子实内部用假象的势能取代真实的势能，而在求解波动方程的过程中，不改变体系的能量本征值及离子实之间区域的波函数［3］。实际采用的赝势往往是使离子实内部的电子波函数尽可能的平坦，使问题在符合实验的基础上更加的理想、简单。这里以空中心模型为例，它所表示的正离子赝势为:

这是一种理想化模型，在讨论问题的过程中，将离子实内部的排斥作用和吸引作用相互抵消，而离子实外部被看成是离子电荷+Ze的库伦场。相关工作表明，只要取得合适Rc，这种模型能和实验结果符合。

在赝势模型中，需要解决的一个问题是介电屏蔽。固体中的离子与气体不同，它们是浸在电子云中的，它的屏蔽可以使电子云极化，这种极化反过来起着屏蔽作用。其中离子势是各个格点位置上单离子势的叠加，即

或者写成傅里叶级数的形式

3.2 近自由电子近似模型

近自由电子近似模型将晶体等效周期场中的电子近似的视作自由电子，它处理周期势场起伏比较小的情况。此时，势场的平均值可以作为零级近似的哈密顿量，零级近似波动方程的解为自由电子，将周期势场相对平均值的起伏作为微扰，利用不含时的简并、非简并微扰论进行微扰计算，从而得到近自由电子近似的能带理论。

采取这种模型进行讨论，可以进一步了解在周期场中运动的电子本征态一些最基本的特点。近自由电子模型对于周期性起伏较小的情况，将各电子间的相互作用做了简单化、理想化的处理，这样做更有易于计算周期场中电子的运动情形，可以更加方便地讨论电子的能级所形成的能带，促使能带理论的形成，还可以解释许多金属晶体的实验结果。在教学的过程中，引导学生学习如此建立模型的习惯，可以使同学摆脱传统物理思维的束缚，进而培养解决稍显深奥物理问题的具体能力。

3.3 紧束缚近似模型

这种模型的出发点是电子在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其它原子场的作用看成是微扰作用，这样可以得到电子的原子能级与晶体中能带之间的相互关系和相关作用［4］。类似于近自由电子近似模型，这种模型的优点是:可以方便的利用此模型来讨论外界压力对固体能带结构的影响，把能带宽度和禁带宽度表示为近邻原子之间的距离R的函数，当压力发生变化时，近邻原子之间的距离R也会发生变化，因而压力对能带结构的影响清晰可见，其物理意义明确，有助于学生更清楚地理解压力对固体能带结构影响的物理本质，此外理论计算结果与实验结果在数量级上基本一致［4］。由此可以看出采取这种模型对于学习能带理论有很大的帮助，有助于深刻理解能带理论的形成。

通过系统地分析以上各种模型的特点，可以看出模型化在固体物理学中的学与教中都有非常明显的优势所在。应用各种模型的优点可以将固体物理中无法精确求解的无限问题转化为有限问题、将经典无法解决的问题借助量子理论进行近似处理、将某些非线性问题转换成线性模型问题，同时，在模型化的过程中，抓住了其中的主要矛盾，而忽略掉次要矛盾，进而使固体问题理想化、简单化。此外，还可以根据实验结果来确定相应的物理值，使相关物理量理论值尽可能与实验值符合好。这样剥离出固体中的具体模型，在教学的过程中可以使同学们更加明晰固体物理相关理论，使繁琐的固体物理学问题较为条例、清晰，并且物理意义更加明确。

4 结论

本文首先列举了固体物理学中的一维单原子链模型、晶体量子热容的德拜及爱因斯坦模型、赝势模型、近自由电子近似模型、紧束缚近似模型等，在分析其各自模型的特点后，讨论这几种典型模型在固体物理中教与学的优势所在，分别找出其在解决固体问题的简单方式，这在一定程度上有利于固体物理的教与学，并可以广泛用于科学技术;最后总结分析以上各种模型的基本特点并找出其共性，认识到模型化在固体物理学中的重要性。

［1］香莲，张建芳，何颖卓.《固体物理学》教学改革浅析 ［J］.内蒙古民族大学学报，2012，18(5):156.

［2］张启明.锡银锌合金及其金属间化合物的热性质和电输运性质 ［D］.天津:天津大学，2010，13.

［3］夏中秋.ZnTe及稀土掺杂ZnTe电子结构和电学性质的研究［D］.呼和浩特:内蒙古大学，2012.27.

［4］张娟娟.Ⅲ－N化合物电子结构和晶体动力学性质的第一性原理研究 ［D］.呼和浩特:内蒙古大学，2011.21.

［5］李德俊，叶伏秋，赵鹤，等.用紧束缚理论研究压力对固体能带结构的影响 ［J］.发光学报，2005，26(2):153.