带部分风险资产的最优投资问题

樊 涛，陈传钟，马 丽

（海南师范大学 数学与统计学院，海南 海口 571158）

1 引言和模型假定

在保险精算学中，学者们对保险公司的最优投资比例问题越来越感兴趣.因为保险公司不仅投资到货币市场，而且部分投资到股票市场.但是股票市场具有高风险性，所以投资策略和风险管理变得越来越重要.较早研究这个问题的是Browne[1]，他考虑的模型是风险资本模型是由经典的Black-Scholes模型刻画，保险公司的风险过程是一个带漂移的Brown运动刻画，得到的结果是在没有负债约束的条件下，不管公司盈余多少，最优投资策略是在风险市场上投资定量的资金.Chi Sang Liu和Hailiang Yang[2]在经典的风险模型基础上，加入风险投资和无风险投资，将保险公司资产分为两部分，一部分是投入股票市场的资产，另一部分投入到证券市场，他们通过HJB方程，得到一个关于最优投资股票市场金钱数量与初始盈余的关系.

本文在经典的Lundberg风险模型的基础上，加入风险投资和无风险投资，将投到风险资产上的比例为b(t),b(t)∈[0 ,1]建立相关的投资模型，将随机控制理论运用到此模型中，解决最优随机控制问题，通过生存概率推导出相关的HJB方程，得到生存概率最大的最优解b（t）与初始盈余之间的关系.

假定在交易过程中没有交易费和税费，假定投资过程中仅有一个风险股票市场和一个无风险证券市场，t时刻的股票价格用pt表示，则pt满足随机微分方程（1）

其中μ和σ是正常数，μ表示股票返回的瞬间期望率，σ表示股票价格的易变性，{Wt∶t≥0}是定义在完备化的概率空间（Ω，F，P）上的标准布朗运动，.t时刻证劵价格满足随机微分方程（2）

r0表示利率，假定r0是非负常数.下面我们从经典的Cramer-Lundberg模型出发，假定风险模型（3）

要找到最优投资比例bt，使得保险公司破产概率最小.假定①{btU（t），t≥0}是可测并且是适应过程，且②

假定①意味着投资者只能依据现有的信息决策，投资者“没有先知先觉”功能，不能准确预测未来价格的变化，假定②的经济意义是投资者不能“恶意透支”[3].

2 最优投资问题的HJB方程

用生存概率

作为目标函数，来求一个投资策略，也就是定出最优投资比例b*（t），使得生存概率最大化[4].

考虑一个很小的区间[0，dt]，在这个小时间段内最多只有一个索赔发生，由于索赔到达过程{N（t），t≥0}服从强度为 的泊松分布，所以在[0，dt]上有一次的索赔Y到达的概率为λdt，此时盈余将减少为u-Y，反之无索赔发生的概率为1-λdt+o（dt），盈余将增加为

由全概率公式生存概率δ（u）取期望可以表示成式（6）

由于δ（u）是连续二次可微的（见Hansperter Schmidli[5]）类似于（随机分析与应用Fima C Klebaner[6]）中Th4.13的证明，可以对上面式子施加泰勒展开式，得到式（7）

这就得到了最优问题的HJB方程.

3 最优投资问题HJB方程的求解

这里首先可以假定δ（u）严格递增，因为保险公司财富储存越多，保险公司生存概率也就越大，另外假定δ（u）是凹函数，并且索赔密度函数是局部有界的[7].令b*（t）u是在股票市场上的最优投资数量，令

将b*（t）代入HJB方程中，经过一些计算，可以得到

易得t=0时，初始盈余u=0，b（*t）=0，代入HJB方程，得到 cδ′(0)=λδ(0)，这就是HJB方程的初始条件，同时若δ（u）是一个解，那么kδ（u）也是它的解，为了简便令δ（0）=1所以初始条件为c=λδ（0）[8].设F（y）表示索赔大小的分布函数，则

对积分项进行计算，令H（t）=1-F（t），用部分积分法则，

下面考虑常见的指数型索赔分布情况，注意到H（u）的表示，假定（fy）=ke-ky，那么F（y）=1-e-ky，H（y）=e-ky这里为了计算方便，令 t(u)= δ′(u )，v（u）=所以

这是一个非线性常微分方程，很容易可以得到方程的初始条件w（0）=0，解出w（u），就可以得到δ（u）和b*（t）U（u），知道比例b（u）了，问题就解决了.下面的任务就是解上面的常微分方程.用两种方法可以解这个常微分方程：第一种方法用有限差分法，用差商代替导数（若步长较小，则有

这样用这个递推公式和初始条件w（0）=0，那么w（u）的数值解就可以得到.

第二种方法，可以用Matlab软件求解微分方程数值解，令k=1，λ=3，μ=0.1，r0=0.04，σ=0.3，c=3.6，最后得到了下列曲线图（见图1）.

图1 索赔为指数分布的最优投资策略Fig.1 Claims for the exponential distribution of the optimal investment strategy

可以从图形看出来，当盈余很小的时候，保险公司宁愿把超过盈余的资金都投入到股票市场，下表显示比例几乎是b=1，也就是说保险公司乐意接受高风险的回报来阻止破产和亏损，这是因为风险资产有着更高的漂移系数将导致更高的投资比例，然而当盈余慢慢增大时，投资到股票市场的比例减小，也就是说，盈余越大，保险公司亏损的风险越小，完全可以抵抗住一些索赔数量，保险公司就会乐意持有保守的投资策略，因此保险公司宁愿选择无风险的证劵市场来减少资金的损失.

另外，本文中投资比例和盈余之间的关系图形，与2004年Liu[2]得到的一个投资数量与盈余之间的关系图形吻合较好，并且从此图更能看出，人们投资的比例在0.65以上，这超出了百分之五十，这能够说明我们大多数投资者都是风险爱好者，才会在盈余越来越大的时候还是会把过多的资产投入到风险市场中，这正与实际吻合，同时给保险公司管理者和风险投资者更好地投资策略组合.

4 本文的经济意义

为了提高保险公司的支付能力，考虑将保险公司的资金用于投资，其中包括风险投资和无风险投资两部分，从得出的最优策略随参数u的变化关系，这说明合理的选取u对最优投资策略的变化至关重要，对于保险公司的稳定经营业相当关键，本文的结论对实际运营具有启发性的意义.

[1]Browne S.Optimal Investment Policies for a Firm with a Random Risk Process：Exponential Utility and Minimizing the Probability of Ruin[J].Mathematics of Operations Research,1995,20(2)：937-958.

[2]Liu C S,Yang H L.Optimal investment for an insurer to minimize its probability of ruin[J].North American Actuarial Journal,2004,8(2)：11-31.

[3]Yang H,Zhang L.Ruin theory with interest incomes[J].Statistics and Finance,1999,55(2)：355-369.

[4]Schmidli H.On minimizing the ruin probability by investment and reinsurance[J].The Annals of Applied Probability,2002,12(3)：890-907.

[5]Hanspeter S.Stochastic Control in Insurance[M].London：Springer-Verlag,2008：48-49.

[6]Klebaner F C.Introduction To Stochastic Calculus With Applications[M].London：Imperial College Press,2005：105-106.

[7]Schmidli H.Optimal proportional reinsurance policies in a dynamic setting[J].Scandinavian Actuarial Journal,2001,11(1)：55-68.

[8]Browne S.Survival and Growth with Liability：Optimal Portfolio Strategies in Continuous Time[J].Mathematics of Operations Research,1997,22(2)：468-493.