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2013-09-29汪丽萍
汪丽萍
许多试题源于课本，它们是由课本的例题、习题进行变式、迁移、整合、扩展而成，或是将教材中的图形的结构进行改变，或是将结论从一般向特殊进行拓展、推广，或是改变题目的呈现方式等.所以，认真研究课本典型例题、习题，对其进行挖掘引申，有助于我们总结一类题的解题经验、规律及思想方法，揭示数学知识间的内在联系，开拓思路，加深理解，提高分析问题和解决问题的能力.
原题呈现：（人教版八年级下册122页）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点.∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的角平分线CF于点F，求证：AE=EF.
证明：如图1，取AB的中点M，连接EM.
∵∠AEF=90°，∴∠FEC+∠AEB=90°.
又∵∠EAM+∠AEB=90°，
∴∠EAM=∠FEC.
∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点，∴AM=EC.
可知△BME是等腰直角三角形，
∴∠AME=135°.
又∵CF是正方形外角的平分线，
∴∠ECF=135°.
∴△AEM≌△EFC（ASA），∴AE=EF .
变式 1 点E位置的变化
（1）如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为此观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
图2
解：观点正确.
理由：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME.∵AB=BC，∴BM=BE，
∴∠BME=45°，∴∠AME=∠ECF=135°.
∵∠AEF=90°，∴∠FEC+∠AEB=90°，
∴∠EAM=∠FEC.
在△AEM和△EFC中，∠AME=∠FCE，AM=EC，∠EAM=∠FEC，
∴△AEM≌△EFC（ASA），∴AE=EF；
（2）把“点E是边BC的中点”改为“点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点”，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立.你认为此观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.
图3
解：结论成立.
理由：如图3，延长BA到M，使AM=CE，连接ME.
∴BM=BE，∴∠BME=45°，
∴∠BME=∠ECF.
∵AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA.
又∵∠MAD=∠AEF=90°，∴∠DAE+∠MAD=∠BEA+∠AEF，即∠MAE=∠CEF.
在△MAE和△CEF中，∠BME=∠ECF，AM=CE，∠MAE=∠CEF，
∴△MAE≌△CEF（ASA），∴AE=EF.
变式2 图形形状的变化
若将原题中的“正方形ABCD”改为“等边三角形ABC”（如图4），F是∠ACP的平分线上一点，则当∠AEF=60°时，结论AE=EF是否还成立？请说明理由.
解：AE=EF还成立.
证明：在AB上截取AM=EC，连接EM.
由三角形ABC是等边三角形，易知△BEM是等边三角形，∠AME=∠ECF=120° .
∵∠MEB=∠AEF=60°，
∴∠MEA+∠CEF=60°.
又∵∠MEA+∠MAE=60°，
∴∠MAE= ∠CEF.
∴△MAE≌△CEF（ASA），∴AE=EF.
变式3 题设和结论互换
将原题的题设外角∠DCG的平分线CF与结论AE=EF互换，命题还成立吗？
如图5，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD，并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.（1）求证：∠ADP=∠EPB；（2）求∠CBE的度数.
图5 图6
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，
∴∠ADP+∠APD=90°.
∵∠DPE=90° ，∴∠APD+∠EPB=90°，
∴∠ADP=∠EPB.
（2）解：过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，如图6，则∠EGP=∠A=90°.
又∵∠ADP=∠EPB，PD=PE，
∴△PAD≌△EGP.
∴EG=AP，AD=AB=PG，∴AP=EG=BG，∴∠CBE=∠EBG=45°.
变式4 知识点借用：将线段的不变性转化为面积的不变性
如图7，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F. 求△AEF的面积.
图7
解：由前面题的解答易知△AGE≌△ECF，
∴AE=EF.
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE= = =，
∴S△AEF=××=.
由教材习题改编的试题按不同图形形状依次展开，虽然有些试题的呈现方式发生变化，但探索的结论、解题的策略却基本相同.通过这样的演变，开拓了同学们的视野，增强了求知欲，便于同学们发现问题的实质，进行深层次地感悟这类题的思维过程，感受到数学知识之间千丝万缕的联系，从而掌握这类题的解答规律和解题方法.
