怎样解答“三数”问题

高峰

平均数、中位数、众数可以从不同的角度描述一组数据的集中趋势，在实际问题中有着广泛的运用，是中考的热点. 有关“三数”问题涉及的背景广泛，题型众多，其中关于如何选用统计量来说理是其中的一个热点.下面分类举例，供大家参考.

例1 （2012年湖北黄冈） 为了全面了解学生的学习、生活及家庭的基本情况，加强学校与家庭的联系，梅灿中学积极组织全体教师开展“课外访万家活动”，王老师对所在班级的全体学生进行实地家访，了解到每名学生家庭的相关信息，现从中随机抽取15名学生家庭的年收入情况，数据如下表：

（1）求这15名学生家庭年收入的平均数、中位数、众数；（2）你认为用（1）中的哪个数据来代表这15 名学生家庭年收入的一般水平较为合适？请简要说明理由.

解析：（1） x=（2×1+2.5×3+3×5+4×2+5×2+9×1+13×1）÷15=4.3万元. 中位数3万元. 众数3万元.

（2）中位数或众数. 虽然平均数为4.3万元，但年收入达到4.3万元的家庭只有4个，大部分家庭的年收入末达到这一水平，而中位数或众数3万元是大部分家庭可以达到的水平，因此用中位数或众数较为合适.

点评：本题比较灵活地考查了一组数据中的“三数”（中位数、平均数、众数）的意义及三者之间的关系.正确解题的关键是深刻理解中位数、平均数、众数的意义，而不只是简单地计算.

例2 （2012年内蒙古呼和浩特）如图1是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况（单位：千米/时）：

图1

（1）找出该样本数据的众数和中位数；

（2）计算这些车的平均速度；（结果精确到0.1）

（3）若某车以50.5千米/时的速度经过该路口，能否说该车的速度要比一半以上车的速度快？并说明判断的理由.

解析：（1）从条形图中可知共有27个数据，其中52的个数最多，中位数是第14个数，所以该样本的数据的众数为52，中位数为52；

（2）平均速度为

≈52.4千米/时；

（3）不能.因为由（1）知该样本的中位数为52，所以可以估计该路段的车辆大约有一半的车速要快于52千米/时，有一半的车速要慢于52千米/时，该车的速度是50.5千米/时，小于52千米/时，不是中位数，所以不能说该车的速度要比一半以上车的速度快.

点评：本题考查了众数的概念和中位数的概念，并求出这些数据的平均数. 通过中位数52，来判断一个数是在前一半数据中还是在后一半数据中，此题告诉我们不但要会求，还要深刻理解它们的意义.

例3 （2012年江西） 我们约定：如果身高在选定标准的±2%范围之内都称为“普通身高”.为了解某校九年级男生中具有“普通身高”的人数，我们从该校九年级男生中随机选出10名男生，测量出他们的身高（单位：cm），收集并整理如下统计表：

根据以上表格信息解决如下问题：

（1）计算这组数据的三个统计量：平均数、中位数和众数；

（2）请你选择其中一个统计量作为选定标准，并按此选定标准找出这10名男生具有“普通身高”的男生是哪几位？并说明理由；

（3）若该年级共有280名男生，按（2）中选定标准请你估算出该年级男生中具有“普通身高”的人数约有多少名？

解析：（1）求统计中的“三数”，将10个数相加的和，再除以这组数的个数，就是这组数的平均数，即平均数为

=166.4（cm）；

对这10个数排序后，中间两个数的平均数就是中位数，即中位数为=165 （cm）；而出现次数最多的数据164就是众数；

（2）“三数”都可以选择，分析“三数”的特点，算出其±2%的范围，从而得出三种不同类型的答案.

选平均数作为标准：

身高x满足：166.4×（1-2%）≤x≤166.4×（1+2%），即163.072≤x≤169.728时为“普通身高”，此时⑦⑧⑨⑩男生的身高具有“普通身高”.

选中位数作为标准：

身高x满足： 165×（1-2%）≤x≤165×（1+2%） ，即161.7≤x≤168.3时为“普通身高”，此时①⑦⑧⑩男生的身高具有“普通身高”.

选众数作为标准：

身高x 满足： 164×（1-2%）≤x≤164×（1+2%）， 即160.72≤x≤167.28时为“普通身高”，此时①⑤⑦⑧⑩男生的身高具有“普通身高”.

（3）根据（2）中的选定标准，分别算出这10名男生中具有“普通身高”所占总数的百分比，再乘总数280即可.

以平均数作为标准，估计全年级男生中具有“普通身高”的人数约为 280×=112（人）；

以中位数作为标准，估计全年级男生中具有“普通身高”的人数约为280×=112 （人）.

以众数作为标准，估计全年级男生中具有“普通身高”的人数约为280×=140 （人）.

点评：这是一道统计题，涉及两类知识点：对“平均数、中位数、众数”三个概念的理解，以及对“用样本估计总体的统计思想”的应用.计算量不大，但设置了两个易错点：1.审题易错点：如何理解“在选定标准的±2%的范围之内”；2.计算易错点：排序后才能进行中位数的计算.还设置了一个亮点：“请你选定其中一个统计量作为选定标准”，给了学生充分的思维空间，选定哪一个标准更合适、更不容易出错，值得同学们作出选择，题目新颖，但难度不大.