运用方差解竞赛题

侯怀有

方差是用来描述一组数据的离散程度的，在解题中有着广泛地应用，不仅可以用于计算，还可以用于解决数学中的一些最值问题，并且在中考、数学竞赛中也有广泛的应用.

例1 （加拿大第七届中学生数学竞赛试题）确定最大的实数z，使得实数x，y满足：x+y+z=5，xy+yz+zx=3.

解：由已知，得x+y=5-z，xy=3-z（x+y）=3-z（5-z）=z2-5z+3.

∵x、y的方差S2=[（x2+y2）-（x+y）2]=[（x+y）2-2xy] =[（5-z）2-2（z2-5z+3）] ≥0，∴3z2-10z-13≤0，解得-1≤z≤，所以z的最大值为.

例2 （江苏省初中数学竞赛试题）已知：p3+q3=2，其中p、q是实数，则p+q的最大值为 .

解：不妨设p+q=k，由已知p3+q3=2，即 （p+q）（p2+q2-pq）=2，得k（k2-3pq）=2，∴pq=（k2-）.

又∵p、q的方差是S2=[（p2+q2）-（p+q）2] =[（p+q）2-2pq]=[k2-（k2-）]≥0，即3k2≥4k2-.由k>0，得0

例3 （前苏奥尔德荣尼基市第三届初中数学竞赛试题）已知x+y+z=1，求证：x2+y2+z2≥.

证明：由x、y、z的方差S2=[（x2+y2+z2）-（x+y+z）2]≥0.将x+y+z=1代人上式并整理得x2+y2+z2 ≥.

例4 （吉林省初中数学竞赛试题）设a、b满足a2-bc-8a+7=0……（1）b2+c2+bc-6a+6=0……（2）试求a的取值范围.

解：由（1）得bc=a2-8a+7…（3）.

由（2）-（1），得（b+c）2=（a-1）2（4）.

由（2）得b2+c2=-bc+6a-6（5）.

将（3）代入（5），得b2+c2=-a2+14a-13（6）.

因为b、c的方差为S2=[（b2+c2）-

（b+c）2]=[（-a2+14a-13）-（a-1）2]≥0. 化简，得a2-10a+9≤0，∴1 ≤a≤9.

从上面的几个例题可以看出，在运用方差公式解决数学中的最值问题时，只要灵活巧妙地将问题转化成公式的形式，即根据条件将问题转化成x12+x22+…+xn2及x1+x2+…+xn的代数式的形式，就能简单明了地解决问题.