对微波布拉格衍射实验中产生衍射极大值晶面的讨论

何颖卓，丁朝华，李春芝

（内蒙古民族大学 物理与电子信息学院，内蒙古通辽 028043）

通常用三厘米微波固态信号源开展微波模拟晶体布拉格衍射实验，实验中总可以测量到多个晶面的衍射极大值。国内外文献中对该实验中可以产生衍射极大值的晶面只有（100）及（110）两个晶面有报道［1-3］，其它可以产生衍射极大值的晶面尚未查到相关的报道。我们通过理论推导得出所有产生衍射极大值的晶面，并对这些晶面的特点进行分析讨论。掌握这些可以产生衍射极大值的晶面，有利于深入开展微波布拉格衍射实验的教学与研究，也有利于更深入地了解和认识X射线入射真实晶体衍射情况。为人们探索物质微观结构奠定良好的基础。

1 实验原理

微波布拉格衍射实验一般采用微波分光仪。其实验原理是当微波以固定波长λ入射到模拟晶体的晶面上，如果入射角满足布拉格定律，则在晶面的反射线方向上发生衍射［4-6］。微波分光仪中的模拟晶体由金属小球组成晶格常数为a=4.0cm的简单立方点阵；所用三厘米固态微波信号源，其波长λ在3.0～3.5cm范围内可调节。

设密勒指数为(hkl)的晶面族［7-10］，其面间距为d(hkl)；入射波与晶面的夹角为θn，θn为第n级衍射的衍射角；n为衍射级数（n取1，2，3等整数）；当θn满足布拉格定律

时，在反射波方向（见图1）上产生衍射［11］。

2 所有产生衍射极大值的晶面

2.1 产生衍射极大值晶面应满足的条件

图1 (hkl)晶面族的微波布拉格衍射

一般微波分光仪都是在同一个水平面上进行测量的。因此，本文只讨论模拟晶体在同一个水平面（X—Y平面）上投影的晶面。则水平面中任意晶面的密勒指数为(hk0)（见图2）。由于模拟晶体为立方晶系，其面间距为［4，11］

图2 模拟晶体在X—Y平面上投影的部分晶面

其中，晶面密勒指数 h、k值取0、±1、±2等整数，但由（2）式得出晶面密勒指数h、k不能同时取0。一组晶面密勒指数h、k取值确定后，相应的晶面(hk0)就可以确定。本文中晶面面间距d(hk0)、微波波长λ单位统一采用cm，故推导过程单位略。把（2）式代入（1）式经整理得

由（4）式得出产生衍射极大值晶面应满足的条件：当衍射级数及波长确定后，只有密勒指数满足（4）式条件的晶面才能产生衍射。

2.2 衍射级数与晶面密勒指数h取值的讨论

由（5）式得出晶面密勒指数h可以取正值，也可以取负值。但当h取正负值后，由（4）式k也取正负值时，它们所表示的晶面都是重复的。例如：当h=±1、k=±1时，相应的晶面为（110）、（11ˉ0）、（1ˉ10 ）、（1ˉ1ˉ0 ），其中，（110）与（1ˉ1ˉ0 ）、（11ˉ0 ）与（1ˉ10）为同一个晶面，因此，我们只讨论h取正值时（110）、（11ˉ0）两个晶面的情况即可。结合（5）式得出晶面密勒指数h的取值范围为

中的整数。利用（6）式，给出衍射级数n及波长λ的取值范围，就可以确定晶面密勒指数h的取值范围。

以下分别讨论实验中产生不同级次衍射时晶面密勒指数h的取值情况。

2.2.1 产生一级衍射

2.2.2 产生二级衍射

2.2.3 大于二级衍射的晶面不存在

当 n＞2时，由（6）式得 h只能取0，再由（4）式得k也只能取0。由于晶面密勒指数h、k不能同时为0，因此，大于二级衍射的晶面是不存在的。

由以上讨论可以得出：微波布拉格衍射实验只能产生一级、二级衍射，并且一级衍射晶面(hk0)的密勒指数h只能取0、1、2，二级衍射晶面(hk0)的密勒指数h只能取0、1。

2.3 产生衍射极大值的晶面

根据以上2.2中的讨论结果再结合（4）式列出产生不同衍射级数的密勒指数h、k的取值及相应的晶面（见表1）。具体方法是把不同衍射级数中的h值分别代入（4）式，再利用λ的取值范围就可以得到相应k的取值（见表1第3行），从而确定产生衍射极大值的晶面(hk0)（见表1第4行）。

表1 产生衍射极大值的晶面

表1说明：

②只有（010）、（100）晶面可以产生二级衍射（见表1第5列、第6列）。由（1）、（2）式可以得出分别相当于（020）、（200）晶面的一级衍射［13］。

由表1可以得出结论：微波布拉格衍射实验中产生衍射极大值的晶面只有十个，分别为：（010）、（020）、（100）、（200）、（110）、（）、（120）、（）、（210）、（）。图2绘出的是模拟晶体在X—Y平面上投影的部分晶面。

3 对产生衍射极大值晶面的分析讨论

3.1 模拟晶体与真实晶体衍射情况的讨论

对真实简单立方点阵晶体其结构因子与晶面的密勒指数无关，发生衍射时不会产生点阵消光现象［13］，即所有满足布拉格定律入射的X射线在其反射线方向上都可以测量到衍射极大值。实验用的模拟晶体也为简单立方点阵，因此，它的衍射也不会产生点阵消光现象，理论上这十个晶面的衍射极大值都能测量到。

模拟晶体与真实晶体的衍射由于种种原因存在很大差异。例如：模拟原子数量少；发生衍射晶面少（只有十个）；小球制作工艺；实验环境等。但采取一些措施是可以减小由于制作工艺、实验环境等因素造成的模拟晶体与真实晶体衍射的差异。为了使通过小球的反射波更均匀，小球制作要求大小一致，表面为球面且光滑，尽量调节金属小球排列整齐；为了防止实验室环境对实验产生干扰，实验设备附近尽量不要放置金属物品，实验过程实验人员应少走动以及适当增大微波强度等。

3.2 微波模拟晶体的衍射图谱

采用微波分光仪自动测试系统测量反射波的电压U（与微波场强成正比）随出射角度θ的变化关系。实验时微波波长调节为3.20cm；测量角度间隔为1°。相对（110）晶面入射角度为0°，出射角测量范围为26°～150°。图3是以U 为纵坐标、θ为横坐标绘出的模拟晶体的衍射图谱。由图3得到A-C四个极值，通过对极值所对应的出射角度和衍射角度比对分析（略）得到它们与（110）、（210）、（200）、（21ˉ0）晶面的衍射一一对应。如果微波以满足布拉格定律角度入射到晶面，就可以测量到相应晶面的极大值。通过调节合适的入射角度还可以测量其它几个晶面的衍射情况（略）。实验结果也说明微波模拟晶体没有衍射消光现象与X射线入射真实晶体的衍射情况基本相符。

图3 模拟晶体的衍谢图谱

3.3 三个代表产生衍射极大值的晶面

以上得出在微波布拉格衍射实验中有十个晶面可以产生衍射极大值，但其中有些晶面发生衍射的性质完全相同，实验中只要选出有代表性的晶面作为实验研究对象即可。

（010）与（100）之间的夹角为90°，两个晶面是对称等效晶面，性质完全相同，用（100）可以代表这两个晶面［4］。（020）、（200）也同样可以用（200）代表。由于（100）的二级衍射相当于（200）一级衍射，可以用（100）晶面的两个衍射级次代表（010）、（020）、（200）这三个晶面。同理，（110）与（）也是对称等效晶面，可以用（110）代表。由（2）式得出（120）、这些晶面的面间距相同，由（1）式又得出衍射角也完全相同，只是入射波及反射波的位置不同而已，性质完全相同，可以选出一个晶面来代表四个晶面的衍射情况。我们选（110）、（100）晶面之间的（210）晶面代表（见图2）。因此，只要研究（100）、（110）、（210）三个晶面的衍射情况，就完全可以代表所有产生衍射极大值的晶面。

4 结论

综上所述，我们得出在三厘米微波布拉格衍射实验中的模拟晶体只能产生一、二级衍射，并且可以产生衍射极大值的晶面只有十个，通过实验都可以测量到这些晶面的衍射极大值。但其中有些晶面的衍射性质完全相同，用（100）、（110）、（210）这三个晶面（实际上它们也代表各自的晶面族［4］）完全可以代表所有产生衍射极大值的晶面作为该实验的研究对象，通过这三个晶面（晶面族）就能全面研究微波布拉格衍射实验。

［1］康伟芳，薛玉春，刘帅.布拉格衍射及其应用［J］.大学物理实验，2006，19（2）：19-21.

［2］李明标，蕫海宽，史力斌.利用微波布拉格反射测量模拟点阵的晶格常数［J］.渤海大学学报：自然科学版，2011，32（4）：325-327.

［3］Helli well J R.Lecture demonstrations in a public lecture on‘X-ray crystal structure analysis：from W.L.Bragg to the present day’［J］.Journal of Applied Crystallography，2009，42（2）：365。

［4］林木欣.近代物理实验教程［M］.北京：科学出版社，1999：168-171.

［5］马礼敦.近代X射线多晶体衍射—实验技术与数据分析［M］.北京：化学工业出版社，2004：16-78.

［6］姜传海，杨传铮.材料射线衍射和散射分析［M］.北京：高等教育出版社，2010：53-56.

［7］陆栋，蒋平.固体物理学［M］.北京：高等教育出版社，2011：12-14.

［8］王矜奉.固体物理教程［M］.济南：山东大学出版社，2010：1-9.

［9］田强，徐清云.凝聚态物理学进展［M］.北京：科学出版社，2005：1-5.

［10］陈纲，廖理几.晶体物理学基础［M］。北京：科学出版社，1992：51-58.

［11］何元金，马兴坤.近代物理实验［M］.北京：清华大学出版社，2003：143-145.

［12］吴思成，王祖铨.近代物理实验［M］.北京：北京大学出版社，1995：294.

［13］祁景玉.X射线结构分析［M］.上海：同济大学版社，2003：10-21.