磁悬浮轴承多变量系统自抗扰解耦控制

朱熀秋，朱利东，吴晓军，陈佳驹

(1.江苏大学电气信息工程学院，江苏镇江 212013)(2.东南大学后勤中心，江苏南京 210018)

磁悬浮轴承多变量系统自抗扰解耦控制

朱熀秋1，朱利东1，吴晓军2，陈佳驹1

(1.江苏大学电气信息工程学院，江苏镇江 212013)(2.东南大学后勤中心，江苏南京 210018)

在介绍径向四自由度磁轴承结构的基础上，建立了磁轴承多变量系统状态方程。基于自抗扰控制器原理，针对径向四自由度磁轴承系统，提出了多变量系统自抗扰解耦控制方案，构建了控制系统结构，并给出相关控制算法。根据实验样机参数，利用MATLAB软件环境，构建了解耦控制仿真系统，针对系统的阶跃响应、转子起浮等进行了仿真试验。研究结果表明:采用自抗扰控制策略设计的控制系统成功实现了多变量的解耦控制，具有精度高、响应速度快、超调量小等特点。

磁悬浮轴承;多变量系统;自抗扰控制;解耦控制

磁悬浮轴承(简称磁轴承)具有无摩擦、无磨损、无需润滑和密封、高速度、高精度、寿命长等优点，改变了传统的支承型式，在高速精密数控机床、离心机、机器人和航空航天等高科技领域具有广泛的应用前景［1－4］。

磁轴承支承系统的性能取决于控制器性能。控制器性能的优劣，不仅决定了转子能否稳定悬浮，而且还直接影响到磁轴承系统的刚度、阻尼及转子回转精度等磁轴承的动态性能［2－4］。

根据转子动力学理论，对于一个五自由度转子悬浮的磁轴承支承系统来说，可以近似认为其轴向磁轴承子系统和径向磁轴承子系统之间耦合作用较小，可以将轴向和径向两个磁轴承子系统分别作为独立的系统来研究。轴向磁轴承子系统是一个单自由度系统，结构简单，易于建模和控制。而径向四自由度磁轴承系统是一个多变量、非线性、强耦合系统，采用分散PID控制方式，各自由度按单输入单输出系统进行设计，不考虑彼此之间的耦合。但转子旋转时会产生陀螺效应，在高速情况下径向各自由度之间产生不可忽略的陀螺耦合 (转速越高，陀螺耦合越强)，因而分散控制难以满足高速高精运转的要求。文献 ［3］提出了一种磁轴承模型预测最优控制方法。为了抑制陀螺效应引起的转子涡动，在传统二次型性能指标函数中引入同步误差项，基于离散状态方程有限步预估转子平动误差、同步误差，以及控制器输出构造最优控制器优化目标函数。基于迭代黎卡提差分方程求解了最优控制器。文献 ［4］研究了基于逆系统理论的状态反馈线性化方法。虽然实现了径向各自由度之间的解耦，但它依赖于所采用的数学模型，因而在采用磁轴承线性化模型时无法抑制实际模型的非线性所带来的模型误差。

自抗扰控制器(ADRC)是一种不依赖被控对象的精确数学模型、实时估计对象模型摄动和外扰的总和作用量并予以补偿的新型非线性控制器，具有很强的适应性、鲁棒性和抗干扰性［5－7］。将ADRC用于多变量系统的解耦控制时，不同输入和输出通道间的耦合可以看作是一种外扰，各通道用扩张状态观测器各自独立地进行在线跟踪及补偿，从而实现解耦。本文基于自抗扰控制器基本思想，设计了四自由度磁轴承自抗扰解耦控制系统，并对系统的阶跃响应、转子起浮、抗干扰等性能进行仿真分析，验证所设计控制系统的有效性。

1 磁轴承数学模型

1.1 径向四自由度磁轴承结构

图1是径向四自由度磁轴承系统转子几何示意图。在设计径向磁轴承系统结构时，需要考虑避免磁轴承四自由度之间机械、磁路及传感器的耦合，保证磁轴承系统具有良好性能。建立图1所示的OXYZ坐标系，O为转子质心。根据转子动力学理论，认为转子的轴向单自由度和径向四自由度之间是没有耦合的，沿Z方向的运动可以单独进行控制。本文研究径向四自由度磁轴承系统，转子在径向四自由度方向上的运动，分别由两个互相垂直位置的磁轴承A和B所控制。每个径向方向磁轴承所产生的力分别沿X方向和Y方向，每个磁轴承都是由差动方式连接的两个相对的电磁铁所控制［2］。

图1 四自由度磁轴承转子结构示意图

1.2 磁轴承状态方程

磁轴承结构及实际工作情况比较复杂，为使问题简化，对磁轴承作如下假设:转子是轴向对称刚性转子，绕X轴和Y轴的转动惯量相等;稳定悬浮时磁轴承对转子在X或Y方向的作用力是相互抵消的;在相互垂直的两个方向上的作用力是相互独立的;假设径向磁轴承4个自由度结构和参数是完全一样的;传感器所测出的位移量即为转子在对应径向磁轴承方向上的偏移量等。

图1中转子的质量为m，转子绕Z轴的角速度为Ω，绕Z轴的转动惯量为Jz，绕X轴和Y轴的转动惯量为Jx=Jy。设转子在径向磁轴承A和B处，相对于平衡位置沿X和Y方向的位移分别为xa，xb，ya，yb;对应磁轴承线圈中的控制电流分别为ixa，ixb，iya，iyb。取系统的状态变量为 X=(xa，xb，ya，yb，x˙a，x˙b，y˙a，y˙b)T，系统的输入控制变量为U=(ixa，ixb，iya，iyb)T，令系统的输出变量为 Y=(xa，xb，ya，yb)，则系统的状态空间描述可写成:

式中:A为8×8的状态矩阵;B为8×4的控制矩阵;C为4×8的输出矩阵。

根据牛顿第二定律、动量矩定律及磁轴承电磁力方程，推导出式(1)中各矩阵的值［2］。

式中:Kx为磁轴承位移刚度;Ki为磁轴承电流刚度;0和I分别为2×2的零矩阵和单位矩阵;M，N为子矩阵。

由式(2)可知，磁轴承系统是关于4个位移量(或其导数)的完全耦合系统，其中在X，Y两个方向之间产生的交叉项为陀螺耦合，代表陀螺力矩的影响，转子转速越高，影响越大。

2 磁轴承自抗扰解耦控制设计

2.1 自抗扰控制器结构及原理

对于形如式(7)的受未知扰动作用的不确定性二阶单输入单输出系统:

文献［5］给出了图2所示的控制方案，虚线所框部分为自抗扰控制器。自抗扰控制器由跟踪微分器(TD)、扩张状态观测器(ESO)、非线性状态误差反馈控制律(NLSEF)3部分组成。

TD的作用是安排过渡过程，并提取其各阶微分信号，即参考输入v0(t)产生2个输出v1(t)和v2(t)，其中v1(t)为参考输入v0(t)的跟踪信号，v2(t)为v1(t)的微分，从而把v2(t)作为v0(t)的“近似微分”。ESO给出对象状态变量的估计z1(t)，z2(t)，以及系统总扰动的实时作用量g(t)=f(x，˙x，t)+w(t)的估计z3(t)，而z3(t)/b的反馈起补偿扰动的作用。用过渡过程与状态估计之间误差e1，e2的非线性组合(NLSEF)和总扰动估计量的补偿分量z3(t)/b来生成控制信号u(t)。

图2 自抗扰控制器结构框图

2.2 磁轴承自抗扰解耦控制

基于自抗扰控制器基本原理可知，ADRC是把系统的模型作用f(x，˙x，t)当作系统的内扰，与系统的外扰w(t)一起，作为系统的总扰动g(t)，利用ESO中的z3(t)对g(t)进行估计，分量z3(t)/b再对g(t)进行反馈补偿。根据ADRC对系统模型及外扰的特殊处理方式，将ADRC用于磁轴承系统的控制时，不同自由度之间的耦合可以看作是一种外扰，这样便可以利用ESO对耦合作用进行实时估计及补偿。磁轴承每个自由度都用1个ESO对来自其余3个自由度的耦合进行估计并补偿，从而实现各自由度之间的解耦。

从式(2)、(3)和(4)可以看到，矩阵A，C中均含有2×2的零矩阵和单位矩阵，矩阵B中含有2×2的零矩阵，根据这些结构特点，取，可以将式(1)写成:

式中:A1，A2，B1为 4×4矩阵;为2×2的零矩阵。

令 U1=(i1，i2，i3，i4)T=B1U，则 U=U1，式(8)可以进一步简化为:

为了便于说明，将式(9)的矩阵形式写成关于状态变量的方程组的形式:

式中:kij(i，j=1，2，3，4) 为对应项前面的系数。

将式(10)中不同自由度之间的耦合看作是系统的外扰 wi(i=1，2，3，4)，即令

此时，式(12)中每一行关于各个自由度的子式可以视为一个形如式(7)的子系统，利用二阶ADRC进行控制，ESO 对其相应的 wi(i=1，2，3，4)进行实时估计并补偿，磁轴承系统便被化为4输入(i1，i2，i3，i4)4 输出(xa，xb，ya，yb) 的无耦合二阶线性系统。

2.3 磁轴承自抗扰解耦控制系统结构与控制算法

根据以上所述自抗扰解耦方案，将ADRC用于径向四自由度磁轴承系统的控制时，每个自由度通道都需要用1路ADRC进行控制，从而需要4路ADRC，4路通道采用相同的ADRC结构和算法。以径向xa自由度为例，给出图3所示的ADRC结构框图。

图3 xa自由度ADRC结构框图

图3 中，ADRC 各部分算法如下［5，8－9］，跟踪微分器TD:

非线性状态误差反馈控制律NLSEF:

式中: α4，α5，δ3，b，bt1，bt2为可调参数。

由于四自由度(4路)ADRC经过功放后的输出控制量为i1，i2，i3，i4，而磁轴承对应线圈中的实际输入控制量为 ixa，ixb，iya，iyb，所以还需要利用公式U=来恢复控制量 ixa，ixb，iya，iyb。图 4 为磁轴承自抗扰解耦控制系统结构简图，图中左边虚线所框为磁轴承的自抗扰解耦控制器，右边虚线所框为被控对象——径向四自由度磁轴承。

图4 磁轴承自抗扰解耦控制结构简图

3 控制系统仿真试验与性能分析

本文所采用的磁轴承实验系统参数［2］:m=1kg，Kx=3．77 × 105N/m，Ki=113．16N/A，Jz=1．238 ×10－4kg·m2，Jx=Jy=1．744 ×10－3kg·m2，la=0．059m，lb=0．057m。放大倍数 Ka为1，位置传感器采用灵敏度为20V/mm的电涡流传感器，放大倍数Ks=20 000。假设转子的转速为60 000r/min，在实际运算时，位移的单位为mm，速度的单位取为m/s。

3.1 阶跃响应试验与解耦效果分析

转子稳定悬浮时给径向xa方向加单位阶跃输入，此时xa方向的响应曲线见图5(a)，从仿真结果可知系统响应时间约0.15s，无超调、无静差，动态性能良好。

图5(b)、(c)、(d)分别为此时 xb，ya，yb方向受xa方向输入信号影响的响应曲线，它反映出各自由度之间的耦合作用。从仿真结果可知，xb方向受影响波动在0．000 11μm 以内，ya，yb方向受影响波动在 0．000 6μm 以内，在 xa方向稳定后，xb，ya，yb方向也基本稳定，达到很好的解耦效果。

图5 xa方向加阶跃输入时，径向四自由度位移响应曲线

3.2 转子起浮试验

采用图1所示转子质心O的几何位置，可以通过转子4个自由度上的位移变化来研究转子质心(xc，yc)轨迹，具体几何关系如下式:

图6为初始值xa=xb=0.15mm，ya，yb为0，即转子质心初始位置xc=0.15mm，yc=0起浮时转子质心轨迹，仿真显示转子经过0.01s回到平衡位置，无静差，系统动态性能良好。

图6 转子质心起浮轨迹

4 结论

a．采用ADRC进行磁轴承系统的解耦控制时，不同自由度之间的耦合可以看作是一种外扰，各通道用扩张状态观测器各自独立地进行在线跟踪及补偿，算法简单，易于实现解耦。

b．针对径向四自由度磁轴承所设计的自抗扰解耦控制系统，成功实现了四自由度之间的解耦控制，具有精度高、响应速度快、超调量小、无静差等特点，满足磁轴承高速高精运转的要求。

c．虽然采用的是磁轴承线性化模型，但由于ADRC是不依赖被控对象的精确数学模型，并且能实时估计对象模型摄动并予以补偿，所以能较好抑制采用线性化模型所带来的模型误差，具有较强的适应性和鲁棒性。

d．由于ADRC实质上是把系统的模型作用与系统的外扰一起作为系统的总扰动，利用ESO对其进行实时估计并补偿，所以ADRC在具有良好的适应性和鲁棒性的同时，也具有较强的抗干扰能力。在磁轴承转子高速旋转的情况下，系统会受到很多不确定性扰动，所以将ADRC用于磁轴承系统的解耦控制时它的抗干扰能力也是一个突出的优点。

［1］ 张维煜，朱熀秋.基于麦克斯韦张量法的交流磁轴承径向悬浮力建模［J］.科学通报，2012，57(11):976 －986.

［2］ 朱熀秋.数控磁轴承的研究与实现［D］.南京:南京航空航天大学，2000.

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［4］ 曹建荣，虞烈，谢友柏.主动磁悬浮轴承的解耦控制［J］.西安交通大学学报，1999，33(12):44－49.

［5］ 韩京清.自抗扰控制器及其应用［J］.控制与决策，1998，13(1):19－23.

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［7］ 黄一，张文革.自抗扰控制器的发展［J］.控制理论与应用，2002，19(4):485－492.

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［9］ 韩京清.非线性状态误差反馈控制律——NLSEF［J］.控制与决策，1995，10(3):221－225.

The Active Disturbance Rejection Decoupling Control for Active Multivariable Magnetic Bearing System

ZHU Huangqiu1，ZHU Lidong1，WU Xiaojun2，CHEN Jiaju1
(1.Jiangsu University，Jiangsu Zhenjiang，212013，China)
(2.Southeast University，Jiangsu Nanjing，210018，China)

Based on introducing configuration of a radial 4 degrees of freedom active magnetic bearings，it establishes the state equations of the active magnetic bearing multivariable system.Focused on the 4 degrees of freedom radial active magnetic bearing system，it uses the principle of active disturbance rejection control(ADRC)and puts forward the strategy of multivariable active disturbance rejection decoupling control.It builds the configuration of control system and gives the correlation control arithmetic.According to parameters of the experiment rig，it sets up the decoupling control simulation system with Matlab，and simulates the step response of system and the start up displacement curve of the rotor.The results show that the decoupling control system is succeed in decoupling control of multivariable system，and it has high precision，high speed of response，and low overshoot.

Active Magnetic Bearings;Multivariable System;Active Disturbance Rejection Control;Decoupling Control

TH133

A

2095－509X(2013)12－0001－05

10.3969/j.issn.2095－509X.2013.12.001

2013－07－03

国家自然科学基金资助项目(50575099，60974053);江苏省自然科学基金资助项目(BK2012707);江苏省“六大人才高峰”项目(2011－ZBZZ026);江苏省研究生培养创新工程(CXZZ13_0682)

朱熀秋(1964—)，男，江苏靖江人，江苏大学教授，博士，主要研究方向为磁悬浮高速传动技术、无轴承高速电机精密驱动及控制等。