库存容量有限的多产品模糊EPQ模型*

刘 正，齐二石，刘 亮

(天津大学管理与经济学部，天津 300072)

0 引言

传统的经济生产批量(EPQ)模型存在产品生产过程完好、需求稳定等假设，这与实际生产过程有很大差别。近年来，学者们结合实际生产状况和生产运作对传统模型进行扩展和改进。Rosenblatt和Lee［1］在生产库存模型中假设缺陷率服从指数分布，构建了相应的 EPQ模型。Kacpryzk与 Staniewski［2］最先将模糊数学引入库存管理;Tsujimura［3］将模糊集理论应用于传统的生产库存模型中。由于实际生产过程中经常发生缺货以及产品质量问题，学者们研究了模糊条件下允许缺货且存在缺陷品的库存管理问题，Chang［4］将缺陷率视为一个模糊变量，研究了在缺陷率和需求为模糊数时的经济订货批量模型，并用符号距离法解模糊，得到最优订货批量;Chen和Chang［5］在模糊EPQ模型中考虑了缺陷品的影响;Zhou Wei［6］考虑了模糊缺陷率和模糊订货成本的经济订货批量(EOQ)模型;GUO Cai-yun等［7］和Zhang Qun等［8］研究了允许缺货且存在缺陷品的EPQ模型。以上的这些研究都是局限于单一产品的研究。Ata Taleizadeh［9］研究了多产品生产批量的确定，但是未考虑库存容量约束。王磊，胡劲松［10］考虑模糊有限的库存容量约束下的多产品的库存策略，但是没有考虑允许缺货且存在缺陷品情况。

本文在以上研究的基础上，将库存容量限制考虑到模型中，建立了模糊条件下允许缺货，存在缺陷品并可修复，库存容量有限的多产品EPQ模型。利用符号距离法将模糊模型转化为确定型模型，进而求得最优生产策略，并利用具体算例进行分析。

1 模型假设以及符号说明

本文的理论推导过程建立在以下的假设下：生产正常品的速度大于产品的需求速度;检验成本忽略不计;允许缺货，缺货在以后补充;缺陷产品可返工再生产，并存在一定比率的废品。此外，由于所有产品都是在一台机器上完成生产的，它们的生产周期都是一样的(Ti=T)。

2 模型构建过程

图1 多产品EPQ库存状态图

周期T内的平均库存成本TC包括正常生产阶段的生产成本，返工生产阶段的生产成本，库存持有成本，缺货成本以及生产准备成本。因此有：

因为缺陷率和废品率都是模糊数，根据公式(1)可得模糊生产库存模型为：

3 多产品模糊生产库存模型求解

为了求目标函数的最优解，需要对模糊模型进行解模糊处理，目前解模糊有很多种方案，其中以符号距离法最为常用。将目标函数去模糊化处理可得：

因此，若先不考虑库存容量约束，可直接对目标函数求导，进而得到最优解。即：

因此，对于库存容量有限的多产品最优生产策略的确定方法可以总结为：

先不考虑库存容量约束，利用公式(4)、(5)、(6)求得的最优解，然后验证是否满足库存容量的限制。若满足，则此时得到最优生产策略;若未满足，则利用公式(8)、(9)、(10)可求得最优生产策略。

4 算例分析

表1 基础数据

根据以上数据确定最优生产策略。若不考虑库存容量限制，根据公式(4)、(5)、(6)，得到库存容量无约束下的最优生产策略如表2所示。

表2 库存容量无约束条件下的最优策略

在此例中，假设库存容量A为2000;单位产品所占用的库存空间ai为1。算例转换为库存容量限制下的最优策略问题，则根据公式(8)、(9)、(10)，得到库存容量有约束情况下的最优生产策略如表3所示。

表3 库存容量有约束条件下的最优策略

文献［9］对多产品生产批量确定的问题进行了研究，其假设产品缺陷率以及返工再生产后的废品率符合相应的概率分布，但是产品的历史数据不易获得，且概率分布函数不易确定。本文采用了模糊数来描述缺陷率以及返工再生产的废品率。此外，本文弥补了文献［9］没有考虑库存容量限制下如何确定最优生产策略的问题。

5 结论

本文针对实际生产库存管理的问题进行了研究，扩展了多产品库存管理模型，将库存容量有约束的这一条件考虑到模型的构建过程中。研究了模糊环境下，库存容量有限，允许缺货，存在缺陷品并可部分修复的多产品生产库存模型。利用符号距离法将模糊模型转化为确定型模型，进而得到了最优生产策略。最后利用算例验证了库存容量无约束和有约束情况下最优生产策略的确定问题。

［1］Rosenblatt M J，Lee H L.Economic production cycles with imperfect production process［J］.IEE Transaction，1986，18(1)：48－55.

［2］Kacpryzk J，Staniewski P.Long－term inventory policymaking through fuzzy decision － making models［J］.Fuzzy set and Systems，1982，8：117 －132.

［3］Tsujimura G M，Zheng Y D.An application of fuzzy sets theory to inventory control model［J］.Computer＆ Industrial Engineering，1997，33(3/4)：553 －556.

［4］CHANG H C.An application of fuzzy sets theory to the EOQ model with imperfect quality items［J］.Computer＆ Operation Research，2004，31(12)：2079 －2092.

［5］Chen S H，Chang S M.Optimization of fuzzy production inventory model with unrepeatable defectives products［J］.International Journal of Production Economics，2008，113：887－894.

［6］周威，金以慧.具有模糊缺陷率和订货费用的库存管理研究［J］.计算机集成制造系统，2006，12(5)：765－771.

［7］郭彩云，胡劲松，王磊.模糊环境下含缺陷率且允许缺货的 EPQ模型［J］.计算机集成制造系统，2008，14(11)：216122166.

［8］张群，李群霞.考虑缺陷率和缺货的模糊库存模型研究［J］.系统工程理论与实践，2008，28(11)：62－68.

［9］Ata Allah Taleizadeh，Hui-Ming Wee.Economic production quantity model with repair failure and limited capacity［J］.Applied Mathematical Modelling，2012，37(5)：2765 －2774.

［10］王磊，胡劲松.模糊库存容量约束的多产品库存策略研究［J］.物流技术，2007，26(12)：50－52.

［11］高阳，罗根.不确定环境下虚拟企业生产计划多目标优化模型研究［J］.组合机床与自动化加工技术，2009(1)：97－101.