基于改进广义极值分布的核管道最大腐蚀深度预测

周国强 ，王雪青，刘锐

(1. 天津大学 管理与经济学部，天津，300072；2. 交通运输部 规划研究院，北京，100028；3. 环境保护部 核与辐射安全中心，北京，100082)

核管道的结构完整性、可靠性是核动力系统安全运行的重要保障[1]，而腐蚀是引起核管道结构破坏失效的重要原因之一[2-3]。核管道腐蚀段承受压力和抗疲劳能力降低将导致核管道腐蚀区域发生破裂甚至核泄露，因而，有必要对核管道的腐蚀趋势特别是最大腐蚀深度进行预测。预测材料最大腐蚀深度一般有 2种方法：确定性方法和统计方法[4]。确定性方法是通过分析材料腐蚀具体过程的动力学和热力学规律，计算腐蚀速率来实现预测控制[5]。由于核管道经常在高温、高压、高湿、核辐射等复杂环境中工作，其腐蚀过程复杂，很难通过建立统一的数学公式来掌握各腐蚀因素的影响规律[6]，因而，对核管道最大腐蚀深度的预测研究大多使用统计方法。统计方法是通过统计分析最大腐蚀深度，计算腐蚀失效概率来进行预测评估[7]。王水勇等[8]利用Gumbel极值分布和回归期预测了不锈钢除淤管道最大腐蚀深度；Relchers等[9]运用Frechet极值分布预测了钢制材料在海水条件下的最大腐蚀深度。但鉴于单个分布模型的限制，这在一定程度上降低了拟合精度[10]。本文作者利用广义极值分布(generalized extreme value distribution，简称GEV分布)作为最大腐蚀深度预测的近似模型，拟合样本数据，避免模型局限性所带来的拟合误差；考虑到模型的复杂性，采用免疫遗传算法(immune genetic algorithm，简称IGA)对模型参数进行优化，并利用计算结果来预测整条管道的最大腐蚀深度，同时评估超过预测的最大腐蚀深度的概率。

1 核管道腐蚀的极值分布

1.1 数学描述

应用极值统计分析方法对核管道最大腐蚀深度进行预测研究的原理是：通过收集现场核管道腐蚀深度对最大腐蚀深度进行极值统计，采用统计推断获得最大极值的估计值，即拟合为某种渐近的极值分布类型，作为实际腐蚀深度的预测及评估依据。在腐蚀环境相同的核管道中，若选取的腐蚀深度样本足够多，则能得出整个核管道的腐蚀深度分布特点。由于小样本空间与大样本空间存在统计学上的自相似性关系，因此，可以采用实验得到的小样本对整个核管道的腐蚀深度分布模型进行研究。

假设在腐蚀环境相同的某一腐蚀管道上，随机变量Y是n个相等观测面积上的腐蚀深度极值，第i个观测面上的最大腐蚀深度为yi，按从小到大的次序编号排列，可以求取样本序列：Y={y1,y2, …,yi, …,yn}；1≤i≤n。

第i个变量对应的累积概率为

则累积概率序列为

设随机变量Y与累积概率F(Y)存在近似映射：

并设非线性函数x=(·)逼近映射f1(·)，则函数x=(·)具有如下性质[11]：

(1)F(yi) ≈(yi)；

(2) ∀y∈R， ∃ 0 ≤x≤ 1 ；

(3)x1＜x2，则y1＜y2。

其中：性质(1)保证了模型的准确性；性质(2)是计算小概率事件发生概率的必要条件；性质(3)具有累计概率的性质。

1.2 广义极值分布模型

极值分布是指观测值中极大值或极小值的概率分布。若极大值渐近分布存在且为非退化时，则只存在3种形式[12]：

(1) 极值I型(Gumbel)分布，

(2) 极值Ⅱ型(Frechet)分布(α＞0)，

(3) 极值Ⅲ型(Weibull)分布(α＞0)，

式中：z=σ-1(y-μ)；σ为尺度参数；μ为位置参数；α为形状参数；y为极值变量。

在实际应用中，对于1个给定的极值序列，在这3种极值分布中作出正确选择是一个关键性问题。GEV分布模型通过对实际数据进行拟合，自动找到最为符合的极值分布。GEV分布的累计概率分布函数表达式为

当模型参数k→0时，表示Gumbel分布；当k＞0时，表示Frechet分布；当k＜0时，表示Weibull分布。3个关键参数μ，σ和k的取值决定样本极值的具体分布情况。针对该模型的复杂性特点，采用免疫遗传算法搜寻各参数的最优值。

2 核管道最大腐蚀深度的预测方法

2.1 基于免疫遗传算法的统计参数优化

免疫遗传算法是基于生物免疫机制中抗体浓度控制原理提出的一种改进遗传算法[13]。免疫遗传算法在保留基本遗传算法全局随机搜索能力的基础上，将目标函数定义为抗原，待求问题的解定义为抗体，通过引进抗原记忆、抗体多样性保持、抗体促进与抑制等机制，在很大程度上避免早熟，加快搜索速度，提高了算法的整体性能[14]。

免疫遗传算法通过抗原和抗体的亲和力(适应度)来描述可行解与最优解的逼近程度，适应度高的个体遗传到下一代的概率就大，而适应度低的个体遗传到下一代的概率相对较小。对式(7)进行变换得：

式(8)是对式(7)求反函数的变换式。

定义已知样本极值点与逼近函数值之间偏差平方和的平方根E1为适应度函数，即

将IGA应用于核管道最大腐蚀深度预测问题，定义目标函数E1最小为抗原(minE1)。在设计过程中，μ，σ和k的中间结果为抗体，求取最优参数μ，σ和k，使E1最小。免疫遗传算法基本程序如图1所示。

2.2 核管道最大腐蚀深度的预测

设随机变量的最大值为ydi，从概率论与数理统计角度，最大腐蚀深度超过ydi的概率为

一般根据小面积样本的最大腐蚀深度估计大面积样本的最大腐蚀深度，需要用到概率统计上回归期的概念。在实际工程应用中，定义回归期T(ydi)为极值分布的随机变量yi超过最大值为ydi所需的样本的数量为

图1 免疫遗传算法基本程序流程图Fig.1 Flowchart of immune genetic algorithm

回归期的意义在于取得最大腐蚀深度ydi所需要测量的最大面积与单位测量面积的倍数[15]，即

其中：S为整个腐蚀管道面积；s为单位测量面积。

联合式(8)，(11)和(12)并代入μ，σ和k的值，可计算得到核管道的整体最大腐蚀深度ydi。

3 应用实例

为验证提出的核管道最大腐蚀深度预测及评估方法的可行性与有效性，给出如下2个计算实例。

(1) 某腐蚀核管道一定时间内的平面观测深度见表1[16]，其中T(ydi)=2 000/15=133.33，将最大腐蚀深度按从小到大排序，利用式(1)计算，累计概率见表1。

运用免疫遗传算法对广义极值分布模型参数μ，σ和k进行优化。经过50次迭代最终得到各参数最优值分别为：μ=3.201 2；σ=0.333 7；k=0.001 9。k＞0，说明该分布符合Frechet模型。计算得到该核管道最大腐蚀深度ydi=4.840 3 mm，超过最大腐蚀深度ydi的概率为0.75%。

样品组1全局最优解的进化过程见图2，极值拟合曲线见图3。由图2可以看到：适应度函数E1的最优解能够以较快的速度收敛到稳态值，同时保证了总体拟合误差最小。而图3也反映出所求模型能够较好地拟合样本极值深度。图4所示为本文方法所得深度与文献[16]中计算深度拟合误差的比较。从图4可以看出：本文方法最大拟合误差较小，避免局部偏差过大的情况；拟合函数更好地逼近真实，提高了预测精度。

表1 样本组1某核管道腐蚀深度Table 1 Sample group 1 of corrosion depth of some nuclear pipes

图2 样本组1全局最优解的进化过程Fig.2 Evolutionary process of global optimal solution for sample group 1

图3 样本组1极值拟合曲线Fig.3 Fitting curve of extreme value for sample group 1

图4 样本组1拟合误差曲线Fig.4 Fitting error curves for sample group 1

(2) 某核电站设冷水系统除淤管道不锈钢部分运行 1 a后的超声测量厚度见表 2[8]，其中T(ydi)=5 980/40=149.5。将最大腐蚀深度按从小到大排序，利用式(1)计算累计概率，见表2。

表2 样本组2某核管道腐蚀深度Table 2 Corrosion depths of some nuclear pipes for sample group 2

仍按照算例(1)所采用的计算方法，经过 50次迭代计算，得到各参数的最优值分别为：μ=4.724 2；σ=1.344 7；k=-0.166 8。k＜0，说明该分布符合 Weibull模型。计算得到该核管道最大腐蚀深度ydi=9.3 mm，超过最大腐蚀深度ydi的概率为0.67%。

样品组2全局最优解的进化过程见图5，极值拟合曲线见图6。由图5可以看到：适应度函数的最优解能够以较快的速度收敛到稳态值。由图6可以看出所求模型能够较好地拟合出样本极值分布。图7所示为本文方法所得结果与文献[8]中计算结果的拟合误差比较。从图7可以看出：采用本文方法所得总体拟合误差较小，拟合函数更好地逼近于真实结果，提高了预测精度。

由以上2个算例可以看出：针对不同的应用实例，即使样本极值数据的分布类型不同，采用免疫遗传算法优化参数的广义极值分布模型也能较好地进行分布拟合，从而可以有效地避免分布类型选择不当所带来的误差。

图5 样本组2全局最优解的进化过程Fig.5 Evolutionary process of global optimal solution for sample group 2

图6 样本组2极值拟合曲线Fig.6 Fitting curve of extreme value for sample group 2

图7 样本组2拟合误差曲线Fig.7 Fitting error curves for sample group 2

4 结论

(1) 针对核管道最大腐蚀深度预测问题，选用具有普遍适用性的广义极值分布模型，能够避免以往单独采用某一分布的不足。该模型不受限于样本极值数据的具体分布，具有较好的通用性。

(2) 应用免疫遗传算法优化改进广义极值分布模型的参数，模型参数寻优过程收敛速度较快，拟合效果理想。

(3) 将该方法应用到核管道腐蚀深度的预测和评估，核管道监测管理人员可以分析潜在的事故发展趋势，制定管网的维护方案，延长管网使用寿命。

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