求解指定第一和第二基本形式的曲面方程的方法＊

邢家省，贺慧霞，高建全

（1.北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室，北京 100191；2.平顶山教育学院，河南平顶山 467000）

求解指定第一和第二基本形式的曲面方程的方法＊

邢家省1，贺慧霞1，高建全2

（1.北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室，北京 100191；2.平顶山教育学院，河南平顶山 467000）

考虑求解指定第一和第二基本形式的曲面方程的问题，将曲面的基本方程写成矩阵形式，指出系数矩阵的直接求法，由此给出了求解曲面方程的简单方法.

曲面的基本方程；矩阵表示法；第一基本形式；第二基本形式

曲面论的基本问题是研究由曲面的第一基本形式和第二基本形式如何确定曲面存在的问题，解决的方法是从曲面的基本方程出发，寻找存在可解曲面的充要条件［1－5］，并且用于求解指定第一基本形式和第二基本形式的曲面.传统的方法采用黎曼张量的符号计算，给出了曲面的基本方程中系数的计算公式，但这种符号体系的逐项计算公式过于繁杂，对不熟悉张量计算的初学者来讲，这无疑增加了他们掌握曲面论基本内容的难度.

文献［6］中给出了采用矩阵形式表示曲面的基本方程及利用矩阵乘法来推导曲面的结构方程的方法，易于掌握.寻找直接简单的方法是人们所追求的，所以笔者在综合已有理论方法［6－11］的基础上，将曲面的基本方程写成矩阵形式，给出了系数矩阵的直接求法，因为系数矩阵是整体定义的，有线性代数矩阵论的基础，就不必为了套公式硬记，即可写出曲面的基本方程，得到了求解曲面方程的简单方法.

1 曲面基本方程的矩阵表示法及其系数矩阵的直接确定

将曲面的基本公式［1－8］写成矩阵形式为

在（1），（2），（3）式两端分别乘以（ru，rv），则得

利用曲面基本方程的矩阵表示形式，容易推导出曲面的结构方程［1－6］.文献［7－8］中给出的曲面方程中系数的套公式的传统求法难于记忆，笔者利用曲面方程的矩阵表示形式，可直接求出系数矩阵，由此给出求解曲面方程的简单方法.

2 由给定的第一、第二基本形式求曲面方程的解法

例1［1－5，7－8］已知E＝1，F＝0，G＝1，L＝－1，M＝0，N＝0，求该曲面.

将矩阵形式等式写成对应分量相等，即得ruu＝－n，ruv＝0，rvv＝0，nu＝ru，nv＝0，由此ruuu＋ru＝0，积分，得r＝C1（v）sin u＋C2（v）cos u＋C3（v）.代入ruv＝0，则得C′1（v）＝0，C′2（v）＝0；代入rvv＝0，则得C″3（v）＝0.故r＝asin u＋bcos u＋cv＋d，其中a，b，c，d为常向量.而ru＝－asin u＋bcos u，rv＝c，所以ru·ru＝a·asin2u＋b·bcos2u－2a·bsin ucos u＝1，因此a·a＝b·b＝1，a·b＝0，又ru· rv＝－a·csin u＋b·ccos u＝0，从而a·c＝0，b·c＝0；再注意到rv·rv＝c·c＝1，于是a，b，c可以分别取为x，y，z轴上的单位向量，故所求曲面可表示为r＝｛cos u，sin u，v｝＋d，因此所求曲面是半径为1的圆柱面.

例2［1－5，7－8］已知E＝1，F＝0，G＝sin2u，L＝1，M＝0，N＝sin2u，其中0＜u＜π，求该曲面.

解 设所求曲面为r＝r（u，v），由已知条件，可得

3 指定第一、第二基本形式的曲面不存在的证法

发现rvvu≠ruvv，矛盾.因此，不存在这样的曲面.

例5［1－5，7－8］证明不存在曲面，使E＝1，F＝0，G＝1，L＝1，M＝0，N＝－1.

证明 假若存在这样的曲面r＝r（u，v），由已知条件，可知

展开，即得ruu＝n，ruv＝0，rvv＝－n，nu＝－ru，nv＝rv，由此得到ru＝－nu＝（rvv）u＝ruvv＝0，rv＝nv＝（ruu）v＝ruuv＝0.于是r＝a（常向量），而这是矛盾的.因此，不存在这样的曲面.

4 第二基本形式与第一基本形式成比例的曲面的性质

定理1［1－5］已知正则曲面Σ：r＝r（u，v）的第二基本形式是其第一基本形式的一个非0函数倍，即在参数（u，v）下有Ⅱ＝f（u，v）Ⅰ，f（u，v）≠0，则有：（1）dn＝－fdr，其中dn＝nudu＋nvdv；（2）函数f为常值函数；（3）Σ为球面片.

证明 （1）由条件，得L＝fE，M＝fF，N＝fG，所以－nu·ru＝fru·ru，－nu·rv＝fru·rv，即得（－nu－fru）·ru＝0，（－nu－fru）·rv＝0.

又（－nu－fru）在切平面上，可得－nu＝fru，由－nv·ru＝frv·ru，－nv·rv＝frv·rv，即得（－nv－frv）·ru＝0，（－nv－frv）·rv＝0；又（－nv－frv）在切平面上，可得－nv＝frv.于是，成立dn＝－fdr.

（2）利用－nu＝fru，－nv＝frv，得－nuv＝fvru＋fruv，－nvu＝furv＋frvu，所以fvru＝furv，而ru，rv线性无关，从而fv＝fu＝0，故函数f为常值函数.

（3）设f＝a常数，a≠0，由dn＝－adr，得n＝－a（r－r0），所以‖r－r0‖＝，从而Σ为球面片.

［1］ 梅向明，黄敬之.微分几何［M］.第4版.北京：高等教育出版社出版，2008：87－105.

［2］ 陈维桓.微分几何［M］.北京：北京大学出版社，2006：193－228.

［3 彭家贵，陈 卿.微分几何［M］.北京：高等教育出版社，2002：74－85.

［4］ 苏步青，华宣积，忻元龙.实用微分几何引论［M］.北京：科学出版社，1986：86－91.

［5］ 王幼宁，刘继志.微分几何讲义［M］.北京：北京师范大学出版社，2003：136－146.

［6］ 谢 琳，安 扬.一个利用矩阵整体推导曲面结构方程的方法［J］.辽宁师范大学学报：自然科学版，2007，30（3）：262－264.

［7］ 梅向明，王汇淳.微分几何学习指导与习题选解［M］.北京：高等教育出版社，2004：51－53；181－183.

［8］ 陈维桓.微分几何例题详解和习题汇编［M］.北京：高等教育出版社出版，2010：171－219.

［9］ 徐冠文.“曲面论的基本定理”教学注记［J］.徐州师范学院学报：自然科学版，1989，7（2）：80－86.

［10］ 邢家省.法曲率最值的直接求法［J］.吉首大学学报：自然科学版，2012，33（4）：11－15.

［11］ 邢家省，王拥军.曲面上曲线的测地挠率的计算公式及其应用［J］.聊城大学学报：自然科学版，2012，25（3）：1－4.

（责任编辑 向阳洁）

New Method to Solve the Existence of the Surfaces with the Given Fundamental Forms

XING Jia－sheng1，HE Hui－xia1，GAO Jian－quan2
（1.Department of Mathematics，LMIB of the Ministry of Education，Beihang University，Beijing 100191，China；2.Pingdingshan Institute of Education，Pingdingshan 467000，Hebei China）

The authors consider the existence problems of the surfaces with the given first and second fundamental forms.By transferring the surface structural equations into the matrix equations，the authors give an easier way to solve the surface equations.The matrix method can simplify the complexity of tensor calculation and make the deducing process easier and clearer.

surface structural equations；matrix multiplication；the first fundamental form；the second fundamental form

O186.1

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.06.002

1007－2985（2013）06－0004－05

2013－03－28

国家自然科学基金资助项目（11171013）

邢家省（1964－），男，河南泌阳人，北京航空航天大学数学与系统科学学院副教授，博士，主要从事偏微分方程、微分几何研究.