脉冲噪声环境中基于FLOWVD的机械设备故障时频监测方法

陈志新

(北京物资学院 物流学院，北京 101149)

Wigner-Ville分布(WVD)在时频分析领域占有很重要的地位，不仅因为它是最早问世的二次时频分布，还因为其它所有二次时频分布都可以看作是它的加窗形式［1］。与其它的时频表示如短时Fourier变换谱、小波变换中的时间尺度谱相比，它能更好地描述信号的时变特征［2］。Meng等［3］应用 Wigner分布方法来进行旋转机械的故障诊断;石林锁等［4］研究了基于WVD的谱峭度法在轴承故障诊断中的应用;刘立州等［5］将Wigner分布与分数阶傅里叶变换(FrFT)相结合，提出了一种基于FrFT的Wigner分布(分数阶Wigner分布)的机械故障诊断方法。

在传统的信号处理中，高斯信号模型占据主导地位，这种信号和噪声的高斯分布的假定在许多情况下是合理的。但是在实践中人们发现，在诸如地震勘探、水声信号处理、生物医学工程等许多领域所遇到的信号和噪声往往是非高斯分布的。后来出现了关于高阶谱和高阶累积量研究的热潮，如:李志农等［6］研究了基于Wigner高阶谱的机械故障诊断方法;左长青等［7］研究了矢Wigner高阶谱在齿轮故障诊断中的应用;刘卫兵等［8］研究了基于局域均值分解和Wigner高阶矩谱的机械故障诊断方法。紧接着又发展了基于分数低阶统计量的信号处理理论和方法，如:龙俊波等［9］研究了基于稳定分布噪声的分数低阶自适应时频分布;边勇等［10］研究了基于分数低阶统计模型的自适应滤波器组谱估计方法;Liu等［11］讨论了循环稳定信号在α稳定分布的脉冲噪声环境下的滤波问题。α稳定分布就是包括高斯分布在内的适用范围很广的一种分布，其特征指数α∈(0，2］，当α=2并且另外一个参数β=0时，它就是高斯分布，除此之外就是基于分数低阶统计量的非高斯分布。本文通过对某现场机械设备运行的振动信号进行分布特性分析，指出这种机械设备振动信号的分布符合基于分数低阶统计量的非高斯分布——分数低阶α稳定分布。

在无噪声或高斯噪声条件下，WVD具有很好的特性，然而在很多实际情况下，噪声并不是高斯分布的，而往往服从分数低阶α稳定分布。因此，研究在分数低阶α稳定分布下的WVD具有很强的实用价值，分数低阶Wigner-Ville分布(Fractional Lower Order Wigner-Wille Distribution，FLOWVD)实际上是一种抗噪能力更强的WVD。Sekhar等［12］用伪Wigner分布来计算信号的瞬时频率，本文将研究基于FLOWVD的机械设备故障时频监测方法。

1 分数低阶Wigner-Ville分布及其算法

1.1 分数低阶Wigner-Ville分布定义［13－15］

α稳定分布比高斯分布具有更普遍的意义，能够描述更加广泛的数据。其特征函数表示如下:

式中:

参数 α∈(0，2］为特征指数，参数 β∈(-1，1)为对称度参数，参数γ≥0为分散度参数，参数δ为均值的位置参数。α用来度量分布函数拖尾的厚度，其值越小，拖尾越厚，信号的脉冲特性越显著。α=2时与高斯分布一致。

由以上参数α的取值范围可知，在二阶和高阶统计量之外，还存在低于二阶的分数低阶统计量，因此，基于α稳定分布的WVD就称为分数低阶Wigner-Ville分布(FLOWVD)。

常规WVD是一种得到广泛重视和应用的时频分析方法，其连续和离散的定义式如下:

设x(t)为一连续时间信号，则:

离散形式为:

式中:x*(t)是x(t)的复共轭。

FLOWVD是在常规WVD的基础上，根据分数低阶α稳定分布的相关理论，把上式中x(t)换成相应的分数低阶α稳定分布下的表达式x〈b〉(t)，x*(t)换成相应的x-〈b〉(t)，所以 FLOWVD的连续和离散的定义式如下:

连续形式:

离散形式:

1.2 分数低阶Wigner-Ville分布算法

WVD是信号x(t)的瞬时相关函数x(t+τ/2)·x*(t-τ/2)关于滞后τ的Fourier变换，若信号x(t)以服从分数低阶 α 稳定分布的形式x＜b＞(t)表示，则FLOWVD 就是信号x＜b＞(t)的瞬时相关函数x＜b＞(t+τ/2)x-＜b＞(t-τ/2)关于滞后τ的Fourier变换。因此，仿照伪WVD(Pseudo-WVD)的算法，FLOWVD算法设计如下:

(1)确定信号x(t)在α稳定分布下的特征指数α值，按0＜b＜α/2取定b值;

(2)将实信号x(t)经Hilbert变换转换成解析信号y(t);

(3)设w(k)是中心在n处的时间窗函数，且具有长度M=2L-1，则离散FLOWVD表达式如下:

式中:p(k)=w(k)w*(k)，mπ/M是圆频率。对每个固定的时刻n计算上式即得到FLOWVD。

2 机械设备故障时频监测方法

在机械设备状态监测中对时频的监测是一个重要的考查内容［3］，因为时频监测能同时考虑时域和频域信息，能尽可能完善的反映设备的运行状态。本文提出基于FLOWVD的机械设备故障时频监测方法，该方法通过监测设备的频率的时变信息来判断设备状态。

2.1 仿真信号

2.1.1 无噪声情况下的调频信号

取调频信号x=cos(400πt+10cos(20πt))，采样频率为 2 000 Hz，采样点数 512点。其 WVD和FLOWVD(取参数b=0.1)如图1。可见:在无噪声情况下FLOWVD的时频表现效果丝毫不比WVD差。

图1 无噪声情况下的调频信号的WVD和FLOWVDFig.1 WVD and FLOWVD of FM signal in no noise case

2.1.2 加上非高斯噪声情况下的调频信号

现加上人为噪声，该噪声在分数低阶α稳定分布下的参数取值为:α =1.5，β =0，γ =0.3，δ=0，在高斯分布下参数取值为:α =2，β=0，γ =0.3，δ=0。调频信号和采样频率同图1，采样点数取512点。

图2 时域信号Fig.2 Time-domain signal

图3 加上高斯噪声和非高斯噪声情况下的调频信号的WVD和FLOWVDFig.3 WVD and FLOWVD of FM signal with gaussian noise and non-gaussian noise

各信号的时域图如图2，混合信号的 WVD和FLOWVD如图3。对比图3(c)和图3(d)可见:在加上高斯噪声情况下FLOWVD比WVD没有明显的优势，但在表达时频特征上丝毫不逊色。而对比图3(a)和图3(b)可见:在加上非高斯噪声情况下FLOWVD仍能很好地表现出了混合信号的时频特性，而此时WVD却表达不清。总之可以说FLOWVD明显比WVD有更好的抗噪能力。

2.2 实际信号

以下是鞍钢某轧机950轴承座上测得的实际信号，故障情况下采集512点，采样频率2 400 Hz，采集的是竖直方向上的振动信号。电机转速:80 r/min，功率:4 760 W，这是典型的低速重载工况。该实际信号的原始和滤波后的时域及频谱图如图4。

故障情况下该振动信号在分数低阶α稳定分布下的参数取值为:α =1.26，β =0.21，γ =0.92，δ=-0.13。其 P-P 概率图(probability-probability plot)如图5所示。P-P图以样本的累计概率为横轴，以指定理论分布的累计概率为纵轴绘制散点图，主要用于验证样本数据是否服从某个指定的分布，当数据符合指定分布时，P-P图中各点近似呈一条直线［16］。图5(a)是用α稳定分布拟合时的P-P图，图5(b)是假设数据为高斯分布时的P-P图。从图5可以看出:该设备在故障情况下的振动信号的分布服从分数低阶α稳定分布，而对高斯分布误差相对较大。

图4 实际信号的原始和滤波后的时域及频谱图Fig.4 Time-domain and frequency spectrum diagram of the actual signal respectively in the original and filtered case

图5 分布拟合数据时的P-P图Fig.5 The fitted P-P diagram

FLOWVD中取b=0.2。该实际信号经滤波后的WVD和FLOWVD分别如图6。又测得该设备在正常工况下的实际信号经滤波后的WVD和FLOWVD分别如图7。

图6 实际故障信号经滤波后的WVD和FLOWVDFig.6 WVD and FLOWVD of Actual fault signal by filtering

从图4、图6、图7中可以看出，轧机在故障情况下受到了很大的周期性的外力的作用，从图6中的WVD和FLOWVD都可以看出这个外力产生的频率约为3.5/512*2 400=16.4 Hz，正常工况下的约 50 Hz的频率受到该16.4 Hz的调制，但是该图中 FLOWVD比WVD能更清晰地表现这种时变特征。图7中也是FLOWVD比WVD能更清晰地表现频率的时变特征。

图7 实际正常信号经滤波后的WVD和FLOWVDFig.7 WVD and FLOWVD of Actual normal signal by filtering

3 结论

(1)在机械设备故障诊断领域引入了一种比常规Wigner-Ville分布(WVD)抗噪能力更强的分数低阶Wigner-Ville分布(FLOWVD)，仿真信号和实际信号的验证表明，FLOWVD是一种比WVD更具有实际应用价值、应用更加广泛的新的时频分析工具。

(2)机械设备运行现场的振动信号的统计分布特性有些服从分数低阶α稳定分布。因此在作机械设备的故障诊断时要考虑噪声的非高斯分布特性。

［1］张贤达.现代信号处理［M］.北京:清华大学出版社，2003.

［2］ Shie Q，Dapang C.Joint time-frequency analysis［M］.New Jersey:Prentice Hall PTR，1996.

［3］ Meng Q F，Qu L S.Rotating machinery fault diagnosis using wigner distribution［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，1991，5(3):155-166.

［4］石林锁，张亚洲，米文鹏.基于WVD的谱峭度法在轴承故障诊断中的应用［J］.振动.测试与诊断，2011，31(1):27-31.

SHI Lin-suo，ZHANG Ya-zhou，MI Wen-peng.Application of Wigner-Ville-Distribution-Based spectral kurtosis algorithm to fault diagnosis of rolling bearing［J］.Journal of Vibration，Measurement＆ Diagnosis，2011，31(1):27-31.

［5］刘立州，李志农，肖尧先.基于分数阶Wigner分布的机械故障诊断方法研究［J］.噪声与振动控制，2009，29(4):46-49.

LIU Li-zhou，LI Zhi-nong，XIAO Yao-xian.Fault diagnosis of machinery based on fractional-order wigner distribution［J］.Noise and Vibration Control，2009，29(4):46-49.

［6］李志农，何永勇，褚福磊.基于Wigner高阶谱的机械故障诊断的研究［J］.机械工程学报，2005，41(4):119-122.

LI Zhi-nong，HE Yong-yong，CHU Fu-lei.Machine fault diagnostics based on wigner-ville high-order spectra［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2005，41(4):119-122.

［7］左长青，韩 捷，陈 宏，等.矢Wigner高阶谱在齿轮故障诊断中的研究［J］.机械设计与制造，2011(10):127-129.

ZUO Changqing，HAN Jie，CHEN Hong，et al.Research on vector Wigner higher-order spectrum in gear fault diagnosis［J］. MachineryDesign ＆ Manufacture，2011(10):127-129.

［8］刘卫兵，李志农，蒋 静.基于局域均值分解和Wigner高阶矩谱的机械故障诊断方法的研究［J］.振动与冲击，2010，29(6):170-173.

LIU Wei-bing，LI Zhi-nong，JIANG Jing.Machine fault diagnosis method based on local mean decomposition and Wigner higher moment spectrum［J］.Journal of Vibration and Shock，2010，29(6):170-173.

［9］龙俊波，汪海滨，查代奉.基于稳定分布噪声的分数低阶自适应时频分布［J］.计算机工程，2011，37(18):81-83.

LONG Jun-bo，WANG Hai-bin，ZHA Dai-feng.Fractional loworder adaptive time-frequency distribution based on stable distribution noise［J］.Computer Engineering，2011，37(18):81-83.

［10］边 勇，周荫清，李春升.基于分数低阶统计模型的自适应滤波器组谱估计方法［J］.电子学报，2008，36(6):1235-1241.

BIAN Yong， ZHOU Yin-qing， LIChun-sheng. Some adaptive filterbank spectral estimation methods based on FLOS［J］. ActaElectronicaSinica， 2008，36(6):1235-1241.

［11］ Liu Y，Qiu T S，Ren F Q，et al.Robust optimal filtering method for cyclostationary signals［J］.Procedia Engineering，2012，29:1889-1896.

［12］ Sekhar S C，Sreenivas T V.Effect of interpolation on PWVD computation and instantaneous frequency estimation［J］.Signal Processing，2004，84:107-116.

［13］ Ma X，Nikias C L.Joint estimation of time delay and frequency delay in impulsive noise using fractional lower order statistics［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1996，44(11):2669-2687.

［14］ Nikias C L，Shao M.Signal processing with alpha-stable distributions and applications［M］.New York:Wiley，1995:1-45.

［15］邱天爽，张旭秀，李小兵，等.统计信号处理——非高斯信号处理及应用［M］.北京:电子工业出版社，2004.

［16］杜 强，贾丽艳.SPSS统计分析从入门到精通［M］.北京:人民邮电出版社，2009.