南海内孤立波作用下顶张力立管极值响应研究

张 莉，郭海燕，李效民

(中国海洋大学 工程学院，青岛 266100)

海洋内波是发生在密度稳定层化的海水内部的一种波动，其最大振幅出现在海洋内部，根据Roberts［1］的统计，最大垂向振幅甚至高达180 m。内孤立波是内波的一种，由于非线性效应和频散效应的平衡，内孤立波在传播过程中能保持波形和传播速度不变［2］。大振幅内孤立波能引起等密度面快速大振幅上下起伏，并且会导致较大的水平流速，会对海洋平台、海洋立管和海底管道等海上结构物造成巨大的威胁。尤其是对贯穿于整个海洋水深范围内的立管来说，不论内孤立波发生深度如何，其产生的突发性强流，必将对立管造成严重威胁。由于立管自身的重要性及其对载荷的敏感性，以及较高的投资和维护成本，立管一旦发生破坏，将会导致巨大的经济损失并引发严重的海洋污染和次生灾害。关于内波引起海洋工程结构物的破坏已有很多报道。安德曼海的一个石油钻井机在水下孤立波的作用下移动了 30.48 m，转动 90°［2］。1990 年，在南海流花油田的单井延长测试期间，曾发生过由内波流引起的缆绳拉断、船体碰撞，甚至拉断浮标或挤破漂浮软管的事故［3］。1992年，我国南海东部石油公司在东沙群岛附近的半潜式钻井平台，由于内孤立波引起的强流作用，在不到5 min的时间内摆动了110°［4］。近几年来，国内外学者对内波的产生、传播、发展变化等问题研究较多，而关于内波对海上结构物作用的研究较少。尤云祥等［5］研究了两层流体中大直径垂直圆柱体上的水动力特性。石强等［6］研究了两层流体中表面波和内波模态的水波与水面漂浮矩形箱的相互作用问题。尤云祥等采用CFD的方法，建立数值波流水槽，对内孤立波场中有航速潜体［7］、张力腿平台［8］等结构进行了数值模拟，结果表明内波对这些水下结构物的作用都是不容忽视的。蔡树群等［9］、叶春生等［10］采用Morison公式，理论和数值求解了内波作用于小尺度圆柱体上的荷载。

以上研究大多讨论内波荷载的分布，或者给出内波对结构的总作用力，对于内波作用下实际海洋结构物的动力响应研究很少。近期，蒋武杰［11］用振型叠加法研究了顶张力立管在内孤立波与非均匀海流共同作用下的多模态振动。本文基于模拟内孤立波的KdV-mKdV方程，结合改进的Morison公式，在时域中建立模拟内孤立波作用下顶张力立管极值响应的数值模型，采用有限单元法和Newmark-β法，计算深水立管在内波作用下的极值响应，并分析了内波振幅、立管内流、顶张力、弹性模量和壁厚对极值响应的影响。

1 数值模型

1.1 顶张力立管数值模型

假定顶张力立管在初始位置时垂直，建立坐标系如图1所示，以立管未变形的位形为z轴，向上为正，取立管底部为坐标原点;x轴水平向右为正。顶张力立管的控制方程可以表述为［12］:

图1 立管模型图Fig.1 Top tensioned riser configuration

其中:mr为单位长度立管质量，mi为管内流体质量，c为结构阻尼，E为弹性模量，I为立管的截面惯性矩，V为内流速度，F是内孤立波引起的x方向的作用力，Te为有效张力。

1.2 内孤立波作用数值模型

采用两层模型来描述海洋密度沿深度的分布，设上层流体深度和密度分别为h1与ρ1，下层流体深度和密度分别为h2与 ρ2，总水深为h，密度比为 γ =ρ1/ρ2。建立直角坐标系o'x'z'如图2所示 ，使o'x'轴位于未扰内界面上，o'z'轴垂直向上为正。立管坐标与内孤立波坐标之间仅Z坐标有差异，内孤立波坐标z'可用立管坐标z表示为:z'=z-h2。振幅为η0的内孤立波沿o'x'轴正向传播，其界面位移η采用海面刚盖假设的KdV-mKdV 理论解［13］。

图2 内孤立波对立管作用示意图Fig.2 Schematic of riser under internal solitary wave

内孤立波在上下层流体中引起的水平流速可以分别记为U1和U2，根据流体动力学和连续条件有:

采用改进的Morison公式计算内孤立波对立管的作用，可以得到考虑立管和内孤立波相互作用下单位长度立管上的x方向动力荷载［14］为:

将方程(3)代入方程(1)，进行简化整理，忽略高阶小量后得到以下方程:

(其中，CM=Ca+1)

1.3 有限元离散和求解

采用Galerkin有限元法对立管控制方程进行求解。用Hermit插值函数对方程(4)进行离散，得到单元矩阵方程:

其中:

质量矩阵:

刚度矩阵:

阻尼矩阵:

荷载矩阵:

将各单元矩阵集合至整体矩阵，在时域内进行求解。假定立管上下两端均为铰接，采用Newmark-β法，对方程(5)在时域内进行逐步积分，可以求得内孤立波作用下顶张力立管的极值响应。基于上述计算方法，本文用 MATLAB编制了相应的计算程序 ERIW(Exteme_Response_Internal Wave)。

1.4 程序验证

为验证本文的计算程序ERIW，将本文的计算结果同文献［11］的计算结果进行比较。文献［11］研究了顶张力立管在内孤立波与非均匀海流共同作用下的动力响应问题，其计算得到的顺流向立管动力特性如图3(a)所示。本文用计算程序ERIW对文献［11］的算例参数进行计算，得到结果如图3(b)所示。对比图3(a)和图3(b)可以看到，按本文方法计算得到的立管顺流向各时刻位移与文献结果吻合较好，位移最大处的时间历程基本一致。

图3 非均匀海流和内孤立波作用下立管顺流向动力响应对比图Fig.3 Comparison of dynamic results of riser under uniform currents and internal solitary wave

2 算例分析

2.1 内波及立管参数

参照蔡树群等［15］1992年在南海北部一次孤立子内波的实测资料，本数值模型采取的下凹型内孤立波参数如下:上层水深h1=60 m，密度ρ1=1 025 kg/m3;下层水深h2=412 m、密度 ρ2=1 028 kg/m3，内孤立波振幅η0=75 m，持续时间T=1 100 s。在计算的初始时刻，内孤立波波谷距立管轴线1 250 m。立管参数见表1。

代入内波参数，用计算内孤立波引起流速的子程序模拟计算，得到上下层水平流速随时间的变化，绘成图4。可以看到，上下两层的流速方向相反，且随着内孤立波的向前传播，两层流速均从零逐渐增大，同时到达最大值后再逐渐减小为零。数值模拟结果表明:上层流体能达到的最大值为2.086 m/s，下层最大流速为-0.304 m/s，这与文献［15］中记载的实测速度上层2.097 m/s、下层 -0.31 m/s较为吻合。

表1 立管参数Tab.1 General material properties of riser

图4 内波引起的水平流速随时间的变化Fig.4 Time history of horizontal flow velocity induced by internal wave

2.2 顶张力立管的极值响应

引入上述内孤立波和立管参数，用本文编制的程序ERIW对南海实测内孤立波作用下顶张力立管的极值响应进行计算分析。图4是顶张力立管三个不同节点处(分别为上层流体中点处、两层交界面处和下层流体中点处)的顺流向位移时程图。可以看到，立管的顺流向位移在前1/2T内，随着内孤立波速度的增大而逐渐增大;当内孤立波波谷传播至立管处 (即1/2T时刻)，立管全长位移最大;之后由于内孤立波作用的逐渐减小，立管的位移也逐渐减小，直至最后回到静力平衡的位形。在此内孤立波作用时间内，内孤立波像是一个缓慢但巨大的冲击力，会对立管安全造成很大的威胁。

图5是顶张力立管分别在1/4T、1/2T、3/4T时的顺流向位移图，沿着立管的长度方向，上层流体的顺流向位移明显大于下层流体的顺流向位移，这与内孤立波上层流速大而下层流速小的流速分布有关。立管从水面向下52 m处有最大的顺流向位移(18.4倍直径)，此处接近上下层的交界面，两层流体速度方向相反，对立管有巨大的剪切作用，是最容易发生破坏的位置。

图4 不同节点处的无量纲位移时程图Fig.4 Time history of dimensionless displacement at different nodes

图5 立管在不同时刻的无量纲位移Fig.5 Dimensionless displacement at different time

图6 不同节点处的应力时程图Fig.6 Time history of stress at different nodes

图6为立管在三个不同深度处节点上的应力时程图，可以看到在内孤立波经过时，立管的应力发生明显波动。上层流速范围内立管应力比下层流速范围内立管应力大。当内孤立波波谷经过立管时，在深度32 m处出现了全长的最大应力121.6 MPa。立管位移最大和应力最大并未出现在同一深度处。

2.3 各种参数对内波作用下立管极值响应的影响

上述计算结果表明，大振幅内孤立波导致立管产生极大的位移和应力，会对立管的在位运行产生严重威胁，因而探索各种因素对立管极值响应的影响程度是十分必要的。表2列举了振幅从45 m至85 m的内孤立波作用下立管的最大位移和应力，可以看到，内孤立波的振幅对立管的极值响应有显著影响。

表2 不同振幅下立管最大位移和应力Tab.2 Max displacement and stress for different amplitude of internal solitary wave

图7为内流分别等于0 m/s、10 m/s、20 m/s时立管在1/2T时刻的顺流向位移曲线。结果表明，随着内流速度的增大，立管的顺流向位移也增大，内流的存在增加了立管对内孤立波的响应。图8是顶张力分别为738 kN、748 kN、758 kN的条件下1/2T时刻立管的位移图。可以看到，位移对于顶张力的变化是比较敏感的，顶张力的增加能减小立管在内孤立波作用下的顺流向位移。

弹性模量对内孤立波作用下立管顺流向位移的影响如图9所示，随着弹性模量的减小，位移增加。立管壁厚对位移的影响可由图10得到，很明显，增加壁厚能减小内孤立波对立管的作用，可以在不影响工程造价的条件下合理选择立管壁厚。

图7 不同内流速度下立管的无量纲位移Fig.7 Comparisons of dimensionless displacement under different internal flow velocities

图8 不同顶张力作用下立管的无量纲位移Fig.8 Comparisons of dimensionless displacement with different top tensions

图9 不同弹性模量下立管的无量纲位移Fig.9 Comparisons of dimensionless displacement with different elastic modulus

图10 不同壁厚下立管的无量纲位移Fig.10 Comparisons of dimensionless displacement with different wall thicknesses

3 结论

本文在 KdV-mKdV方程的基础上，依据改进的Morison方程，参照南海实测数据，对内孤立波作用下的顶张力立管进行了数值模拟，采用有限单元法和Newmark-β法求解立管振动方程，得到了内孤立波作用下立管的位移和应力分布，并就内孤立波振幅、立管内流、顶张力、弹性模量和壁厚对于这一极值响应的影响进行了分析。数值模拟结果表明:

(1)随着内孤立波不断向立管行进，内孤立波致流速逐渐增大，立管位移也逐渐增大;当内孤立波波谷传到立管中心线时，流速达到最大，同时立管位移和应力也达到最大;然后，由于内孤立波作用的逐渐减小，立管的位移逐渐减小，直至最后回到初始位形。内孤立波的作用像是一个缓慢但巨大的冲击力，在其作用时间范围内，立管的位移和应力发生了巨大的波动，因此在内波频发海域的立管计算分析中应该考虑内孤立波的作用。

(2)沿着立管的长度方向，上层流体部分的顺流向位移和应力明显大于下层流体部分的位移和应力，这与内孤立波的上层流速大而下层流速小的垂向分布有关。立管邻近上下层流速的交界处发生最大顺流向位移，由于此处两层流体速度方向相反，对立管有巨大的剪切作用。

(3)内孤立波振幅对立管的极值响应有显著影响，内流的存在及立管的各种参数对极值响应均有一定程度的影响。管内流体流速越大，立管的顺流向位移越大;顶张力越大，顺流向位移越小;弹性模量越大，顺流向位移越小;壁厚越大，顺流向位移越小。

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