矿柱失稳的突变分析

韩 颖，杨志龙

（河南理工大学能源科学与工程学院，河南 焦作454000）

冲击地压和煤与瓦斯突出是煤矿开采中的两种严重的动力灾害，在煤矿开采尤其是条带开采中矿柱起着十分重要的作用。近年来随着煤矿开采的深度越来越大，矿柱冲击地压现象在煤炭开采中时有发生，所以研究影响矿柱冲击地压的因素及其机理显得尤为重要。目前，许多学者对矿（煤）柱冲击地压进行了多方面的研究，谷惠棠、胡慧明[1]结合材料力学理论，建立了岩梁－矿柱的尖点突变模型，提出了系统发生失稳破坏的条件及发生失稳破坏时系统释放的能量。李忠华、潘一山[2]提出应用煤层塑性软化理论和材料失稳的动力判别准则，对煤柱冲击地压进行的解析分析方法。王玉山[3]提出了压机－岩样加载系统模型来描述矿柱的失稳行为，并用之解释了国内典型矿山中矿柱系统失稳破坏的灾变特征。王存文、姜福兴等[4]通过建立下保护层中残留孤岛煤柱的结构力学模型，用力学原理分析了残留煤柱及被保护层煤体中的应力状态，得到煤柱诱发冲击地压的机理。李江腾、曹平[5]应用能量原理及突变理论推导矿柱失稳的临界载荷及临界应力，提出矿柱发生失稳的屈曲模型。作为一种尝试，本文在前人的基础上将矿柱近似为由弹性元件和塑性软化元件串联组成，建立了顶板－矿柱围岩系统的力学模型；应用突变理论建立了顶板－矿柱围岩系统失稳发生冲击地压的尖点突变模型。

1 力学模型

冲击地压是煤岩体快速、突然释放弹性能的现象。在矿井开采过程中常常留有矿柱，有的是三面采空的“孤岛”矿柱，有的是上下工作面间留设的区段保护矿柱.这些矿柱由于采后残余支承压力的影响，通常在煤岩体中造成很大的应力集中[6]。矿柱是地下岩体中唯一承受单轴压缩荷载的构件[7]。顶底板－矿柱围岩系统和岩样的单轴压缩非常相似，岩样在进行单轴压缩时，随着荷载的增大首先出现线弹性变形，当岩样应力达到峰值强度时，此后，岩样出现应变软化现象。本文引用文献[8]中的试验机与岩样联合作用的力学模型作为顶底板－矿柱围岩系统的力学模型，在此基础上，将老顶作用在顶底板－矿柱围岩系统的荷载简化为集中荷载P，直接顶视为弹性介质用刚度为Km的弹簧来代替。矿柱可视为由刚度为KR的弹簧和具有塑性软化性质的元件R组成。力学模型如图1所示。

图1 顶底板－矿柱围岩系统力学模型

矿柱峰后塑性软化的本构关系[9]：

式中：A＝2（1－n）／（m－1）（m2＋m－2）；B＝－3Am／2；εg／εc＝m；σg／σc＝n；σc为峰值强度，MPa；εc为峰值强度对应的应变；σg为峰后曲线拐点处的应力，MPa；εg为峰后曲线拐点处应力对应的应变。

2 系统的势函数

在研究岩石破裂失稳破坏的过程中发现，矿柱发生失稳破坏都是在其荷载－变形关系曲线峰值后发生的。岩石的变形失稳根源在于岩石应变弱化的非线性本构关系[1]。为了行文方便，假设矿柱高H，矿柱的塑性应变能相当于长宽为L，高为H的四方体全部发生塑性软化变形的应变能。设直接顶得压缩量为u1（刚度为Km的压缩量），矿柱的压缩量为u（刚度为KR的压缩量），则老顶的下沉量为：（u1＋u）。由于模型中弹簧K、KR为串联关系，当矿柱以准静态被压缩时可近似认为：Kmu1＝KRu。

集中荷载P对系统所做的功为：

刚度为Km的弹簧的弹性能为：

矿柱的应变能分为弹性应变能UE和塑性软化应变能Us：

式中us为塑性软化应变能密度。

将式（6）代入式（5）可得

系统的总势能为

将式（2）、式（3）、式（4）、式（7）代入式（8）可得系统的总势能为：

3 矿柱冲击的突变模型

突变理论是法国数学家Thom于20世纪70年代初提出的，主要是研究某一系统或过程，由一种稳定状态到另一种稳定状态的跃进[10]。矿柱的突然失稳－岩爆具有尖点突变的五条典型性质，即突跳、滞后、发散、双模态、不可达[11]。所以，本文用突变理论研究矿柱冲击地压。取矿柱的压缩量u为状态变量，从系统的总势能函数可以看出矿柱发生失稳的启动过程属于尖点突变类型。

平衡曲面方程为：

由平衡曲面的光滑性质，可知在尖点处有：

从而可得尖点：

将平衡曲面方程在u1处进行Taylor级数展开，并将尖点值u1代人其中，按突变理论，截取前3次项不影响方程的定性性质，取无量纲量x＝（uu1）／u1，因此可将平衡曲面方程式（10）化为标准形式：

突变点集方程为：

联立式（11）、式（12）消去x可得分叉集方程为：

平衡曲面为一具有褶皱的光滑曲面，由上、中、下三叶构成，如图2所示。其中上叶和下叶是稳定的，中叶是不稳定的。当p、q达到褶皱曲面的边缘时，将会产生突变，这时系统处于不稳定状态。在无扰动的情况下，分叉集的左支曲线为突变发生的临界启动条件。当控制变量p、q一旦超过临界启动条件，x将跳跃式的增大，这时系统将由准静态破坏状态进入失稳状态。

图2 尖点突变模型

4 突变模型分析

由式（13）可知，当控制参数p、q在分叉集以外变化时，如图3中箭头所示，这时x只能以较小的值保持在下叶，不可可能跳跃到上叶，系统不会发生失稳破坏。只有当p≤0时，系统将发生突变，但是从图2和是（13）可知当p＝0时，q＝0；这时，在外界的扰动下，系统虽然失稳，但是马上就进入稳定状态，所以这时不会发生冲击地压，当系统发生冲击地压时，系统的突变如图4中箭头所示。发生冲击地压的必要条件为：p＜0，即：

式中：Ec＝σc／εc；K1＝（Km＋KR）KR／Km。

由尖点突变理论可知：当控制变量p、q满足分叉集方程时，系统才会发生失稳，分叉集方程是系统发生失稳的充要条件。并且当p＜0时，系统才会发生突变，冲击地压才能发生。故该系统发生失稳的充要条件为：

图3 系统稳定时的平衡曲面与分支曲线

图4 系统失定时的平衡曲面与分支曲线

由式（15）可看出只有在p＜0，即3AH2K1／LB2Ec－1＜0时，矿柱才能失稳发生冲击地压由此可以看出矿柱失稳与顶板岩层和矿柱本身的刚度、矿柱的几何尺寸、矿柱达到应力峰值时的应力和对应的应变以及矿柱发生塑性软化区域的大小有关，还与矿柱峰后曲线拐点处的应力应变有关，这些参数都是反映矿柱自身的材料性质，是影响矿柱稳定的内在因素。矿柱发生塑性软化的区域越大且矿柱达到应力峰值时对应的应力和应变比值也越大，这样就越容易发生矿柱冲击地。由突变理论可知，只要把控制参数p、q控制在尖点区域以外就可以有效的防止突变的发生。

4 结束语

本文通过建立顶板－矿柱围岩系统的力学模型；应用突变理论建立了围岩－矿柱系统失稳发生冲击地压的尖点突变模型。应用突变理论得出了矿柱失稳的充要条件，矿柱失稳是由顶板岩层和矿柱本身的刚度、矿柱的几何尺寸、矿柱达到应力峰值时的应力和对应的应变以及矿柱发生塑性软化区域的大小、矿柱峰后曲线拐点处的应力应变等内在因素决定。在生产实际中只要合理布置矿柱尺寸大小，控制矿柱塑性软化区域的发展，把控制参数p、q控制在尖点区域以外可以有效的防止矿柱冲击地压的发生。

[1]谷惠棠，胡慧明.基于突变理论的矿柱失稳破坏研究[J].金属矿山，2011（8）：15－18.

[2]李忠华，潘一山.煤柱冲击地压的解析分析[J].地质灾害与环境保护，2001，12（2）：62－65.

[3]王玉山.矿柱失稳破坏的力学模式研究[J].采矿技术，2011，11（3）：55－57.

[4]王存文，姜福兴.煤柱诱发冲击地压的微震事件分布特征与力学机理[J].煤炭学报，2009，34（9）：1169－1173.

[5]李江腾，曹平.硬岩矿柱纵向劈裂失稳突变理论分析[J].中南大学学报：自然科学版，2006，37（2）：371－375.

[6]高明仕，窦林名.煤（矿）柱失稳冲击破坏的突变模型及其应用[J].中国矿业大学学报，2005，34（4）：433－437.

[7]尤明庆，华安增.岩样单轴压缩的尺度效应和矿柱支承性能[J].煤炭学报，1997，22（1）：37－41.

[8]尤明庆.岩样单轴压缩的失稳破坏和试验机加载性能[J].岩土力学，1998，19（3）：43－49.

[9]祝平.煤岩应变软化特性与地下硐室稳定性分析[J].煤矿开采，1998（2）：41－44.

[10]王凯，俞启香.煤与瓦斯突出的非线性特征及预测模型[M].徐州：中国矿业大学出版社，2005.

[11]费鸿禄，徐小荷，唐春安.狭窄煤（岩）柱岩爆的突变理论研究[J].中国矿业，1993，2（4）：57－61.