一类分期付款亚式期权定价

李家华　周静

【摘 要】分期付款嵌入到亚式期权构造出分期付款亚式期权，针对固定执行价格的连续几何平均欧式看涨情形，利用kim积分分解定理得到价格函数和最佳停止边界满足的方程，然后利用梯形积分法获得它们的递归式，并利用最小二乘原理求解最佳停止边界，以此获的看涨期权价格的数值算法.最后分析了分期付款率对期权价格、最佳停止边界及套期保值策略的影响.

【关键词】期付款； 亚式期权；套期保值策略

一、引言及介绍

亚式期权是一种强路径依赖型期权，它的收益依赖于标的资产在整个期权有效期内标的资产所经历的价格平均值（算术平均和几何平均），可有效的减少到期日价格操纵的影响.它应用十分广泛，特别在石油市场和债券市场非常流行.假设 是期权的路径变量，表示初始时刻到时刻t的平均值，那么：，（1）

相应的亚式期权可分为算术平均亚式期权和几何平均亚式期权，在到期日T的收益为：（3）

分期付款（Installment Paying）是一种广泛应用于金融实际的支付形式，如住房按揭贷款、人寿保险、教育基金保险、重大工程项目、养老金计划、医疗保健等都是分期付款，也可以投资.分期付款为投资者提供了方便灵活的投资策略，降低了投资者的投资风险.将分期付款引入到金融衍生工具中， 构造出分期付款期权，可以为投资者提供灵活的进入与退出机制， 让期权持有人有足够的时间来评估标的资产的真实价值和未来走势，为投资决策提供有利的依据.而对于卖方来说， 当标的资产的价值下降时，也可以避免损失太大.Karsenty 和Sikorav[1]是最早介绍该期权的学者.对其定价的研究是最近几年的工作，Davis[2] 等人在经典Black-Scholes模型下分析了离散型分期付款期权，同时给出连续分期付款期权价值函数： （4）

在标的股票满足经典Black-Scholes 模型下，本文考虑连续分期付款支付方式嵌入到亚式期权的定价问题.设 是它在 时刻的价格，对 应用 公式可得到分期付款亚式期权满足的非齐次偏微分方程：

其中q为分期付款率，为红利率.

二、固定执行价格分期付款连续几何平均欧式亚式期权定价

现考虑到期日为T的固定执行价格分期付款连续几何平均欧式亚式看涨期权，它在t时刻的价格为。期权持有人在t时刻要获得继续持有此期权至到期日T，他必须支付期权金。但持有人也可以选择在停时（是取值于 （）的停时集合）放弃该期权，获得收益为，同时可以收回余下的期权金，那么在时刻的总收益为：。由风险中性定价原理知：

由（1）式可知，对，一定存在最佳停止边界，将区域D分成：终止区域；继续持有区域，其中.下面给出最佳停止边界的性质.

性质1：是上的非降连续函数，且.

证明类似于Jacka[3]中的命题2.1、2.4、2.5的证明.

定理1：对于固定执行价格的分期付款连续几何平均欧式亚式看涨期权，其价格函数的积分分解表达式为：

三、数值算法及结果

下面利用积分方程法对Kim方程（7）、（8）建立期权价格及最佳边界函数的递归方程.

将时间区间分成等份，记及；记以及

考察S0和分期付款率q取不同值时，固定执行价格分期付款欧式连续几何平均亚式看涨期权的数值结果.执行价格K=100，无风险利率r=0.04，红利率，到期日T=0.6，波动率，M=200，数值结果如表1所示.

另外当q=5，S0=100时，分别画出了固定执行价格的分期付款连续几何平均欧式亚式看涨期权的最佳停止边界和q、S0取不同值时的△套期保值率，分别如下图1、图2所示.

从表1中可以看到分期付款率q越大，期权价值越小，越受投资者欢迎.但图1反映出最佳停止边界越高，表明在期权交易的初期，放弃该期权合约的概率相对较大，说明分期付款率q的选择非常重要.另外从图2中可以看到，随着股票价格的增大，期权由价外期权变为价内期权，套期保值率也在增大，并且不同分期付款率下差别逐渐减少.但价外状态时，分期付款率越大，套期保值率越低.

四、结论及展望

本文主要讨论了固定执行价格分期付款连续几何平均欧式亚式看涨期权定价、最佳停止边界及套期保值策略，对于固定执行价格分期付款连续几何平均欧式亚式看跌期权定价和本文类似，这里就不再讨论.本文方法也同样应用于离散几何平均情形.对于固定执行价格的美式及浮动执行价格的欧式和美式情形有待进一步研究。

参考文献

[1] Karsenty F，Sikorav F.Installment pian，Over the rainbow[J].Risk publication，1996，141-206.

[2] Jailllet P，Lamberton D，Lapeyre B.Variational inequalities and the pricing of American options[J].Acta Applications Mathematics，1990，21：

263-289.

作者简介：李家华，女，管理学硕士，讲师， 研究方向：电子金融与物流

通讯作者：周静，男， 金融学硕士，讲师 ，研究方向：金融工程。