关于不定方程x3±53=3Dy2

2013-08-29普粉丽杜先存

海南大学学报（自然科学版） 2013年4期

普粉丽，杜先存

(1.普洱学院数学与统计学院，云南普洱 665000;2.红河学院教师教育学院，云南蒙自 661199)

方程x3±a3=Dy2(D 是无平方因子的正整数)是一类重要的不定方程，其整数解越来越受到学者们的关注.杜先存等［1－4］、刘杰［5］、张淑静［6］对a=1 的情况进行了研究，得到了一系列结果.但a=5 时研究结果还不多见，主要成果有:李复中［7］用简单同余法给出了不定方程x3±125=Dy2的全部非平凡正整数解，其中D＞0 且不能被3 或6k+1 形的素数整除;李复中［8］用简单同余法给出了一类不定方程x3±(5k)3=Dy2的全部非平凡整数解，其中D＞0 无平方因子且不能被3 或6k+1 型的素数整除;刘晓敏［9］用二次剩余法给出了不定方程x3±125=Dy2无正整数解的充分性条件，其中D＞0，D 含6k+1 形素因子.笔者主要给出了不定方程x3±53=3Dy2无正整数解的2 个充分性条件.

引理1［6］设D=2a·q·p，其中p，q 均为奇素数，a=0 或1，q≡5(mod 6)，则当p=12r2+1，其中r是正整数时，方程x3±1=3Dy2无解(x，y).

无正整数解(x，y).

当x≢0(mod 5)时，不妨设(x，y)是不定方程(1)的一组正整数解解，则有不定方程(1)可分解为(x－5)(x2+5x+25)=3Dy2，由gcd(x－5，x2+5x+25)=1 或3.根据奇偶性质，可知x2+5x+25 必为奇数，即x2+5x+25≢0(mod 2)，则不定方程(1)可分解为以下8 种情形:

情形Ⅰ x－5=3Da2，x2+5x+25=b2，y=ab，gcd (a，b)=1;

情形Ⅱ x－5=a2，x2+5x+25=3Db2，y=ab，gcd (a，b)=1;

情形Ⅲ x－5=3a2，x2+5x+25=Db2，y=ab，gcd (a，b)=1;

情形Ⅳ x－5=Da2，x2+5x+25=3b2，y=ab，gcd (a，b)=1;

情形Ⅴ x－5=9Da2，x2+5x+25=3b2，y=3ab，gcd (a，b)=1;

情形Ⅵ x－5=3a2，x2+5x+25=9Db2，y=3ab，gcd (a，b)=1;

情形Ⅶ x－5=9a2，x2+5x+25=3Db2，y=3ab，gcd (a，b)=1;

情形Ⅷ x－5=3Da2，x2+5x+25=9b2，y=3ab，gcd (a，b)=1.

情形Ⅰ 由x2+5x+25=b2得，(2x+5)2+75=4b2，即(2b)2－(2x+5)2=75，也即［2b－(2x+5)］［2b+(2x+5)］=75，又75=1×75，3×25，5×15，15×5，25×3，75×1，故可解得x=－21，－8，3，16，代入x－5=3Da2，得3Du2=－26，－13，－2，11，显然无解.故情形Ⅰ不成立.

由证明可知，当D=12r2+1，且r≡0，2，3(mod 5)时，矛盾.故情形Ⅱ不成立.

情形Ⅲ 由x2+5x+25=Db2配方得(2x+5)2+75=D(2b)2，把x=3a2+5 代入得(6a2+15)2+75=D(2b)2，即9(2a2+5)2+75=D(2b)2，因9(2a2+5)2+75≡0(mod 3)，而D=12r2+1，由此可得D≢0(mod 3)，要使9(2a2+5)2+75=D(2b)2成立，则有b≡0(mod 3)，即x2+5x+25≡0(mod 3)，即gcd(x－5，x2+5x+25)=3，这与gcd (x－5，x2+5x+25)=1 矛盾.故情形Ⅲ不成立.

由情形Ⅳ的证明可知，情形Ⅴ不成立.

情形Ⅵ 由x2+5x+25=9Db2配方得(2x+5)2+75=9D(2b)2，把x=3a2+5 代入得(6a2+15)2+75=9D(2b)2，即3(2a2+5)2+25=3D(2b)2，又因为3D(2b)2≡0(mod 3)，而25≢0(mod 3)，即3(2a2+5)2+25≢0(mod 3)，矛盾.故情形Ⅵ不成立.

由情形Ⅱ的证明可知，情形Ⅶ不成立.

由情形Ⅵ的证明可知，情形Ⅷ不成立.