一维插值算法在实际问题中的应用和比较

邢丽

一维插值算法在实际问题中的应用和比较

邢丽

(上海第二工业大学理学院,上海201209)

通过分别介绍拉格朗日插值法、分段线性插值法和三次样条插值法的理论知识,结合数学软件Matlab编程工具,对机床加工零件问题展开研究。针对3种插值方法所得到的图像曲线,比较它们的适宜性,分析和判断哪一条曲线最能反映出实际问题中的关系。

一维插值;拉格朗日插值;分段线性插值;三次样条插值

0 引言

在工程实践中,如信息技术中的图像重建、图像放大过程中为避免图像失真与扭曲而增加的插值补点、建筑工程中的外观设计、化学工程中的实验数据与模型分析、天文观测数据、地理信息数据的处理等方面,插值技术的应用是不可或缺的。插值技术的主要思想是要从一组试验观测数据(xi,yj) (i=0,1,···,n)之中找到自变量x与因变量y之间的函数关系,一般可用一个近似函数y=g(x)来表示。插值主要是要求近似函数y=g(x)在每一个观测点xi处一定要满足yi=g(xi),i=0,1,···,n。在实际问题中插值理论上的方法有很多,关键在于什么情况下使用、怎样使用、使用何种插值方法。本文针对同一实际问题,采用不同的插值方法,分析比较每种方法的优缺点。

1 3种插值方法

1.1拉格朗日(Lagrange)插值法

拉格朗日插值是一种最常见的多项式插值法,也是一种最常用的逼近工具。拉格朗日的思想:已知函数y=f(x)在区间[a,b]上n+1个互异点xj的函数值为yj=f(xj),则在构造一组基函数

显然Li(x)是基于节点的n次多项式且满足

则得到过n+1个点的次数最高为n的多项式pn(x)的构造函数为[1]

1.2分段线性(Piecewise Linearity)插值法

分段线性插值法的思想:假设区间[a,b]上的连续函数f(x)在n+1个节点a=x0＜x1＜···＜xn=b上的函数值f(xj)=yj(j=0,1,···,n),则可得到xy平面上的n+1个数据点(xj,yj)。连接相邻数据点(xj,yj)、(xj+1,yj+1)得到n条线段,它们组成一条折线。把区间[a,b]上这n条折线段表示的函数称为被插函数f(x)关于这n+1个数据点的分段线性插值函数,记作S(x),则通过拉格朗日多项式可用来表示分段线性曲线:

则线性样条函数可表示为[2]

1.3三次样条(Cubic Spline)插值法

三次样条插值法的思想:区间[a,b]上的连续函数f(x)有n+1个节点,其中a=x0＜x1＜···＜xn=b,如果存在n个三次多项式Si(x),满足

则称函数S(x)为三次样条函数。

2 计算实例

计算实例1待加工零件的外形根据工艺要求由一组数据(x,y)给出(在平面情况下),用程控铣床加工时每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的一步,这就需要从已知数据得到加工所要求的步长很小的(x,y)坐标。表1中给出的x,y数据位于机翼断面的下轮廓线上,假设需要得到x坐标每改变0.1时的y坐标,试画出曲线。

表1 已知数据表Tab.1 Known data table

用上述3种插值方法构造一维插值函数曲线。

通过Matlab编程[3]可以直观地画出通过拉格朗日插值法所得到的插值曲线(见图1)。把3种插值函数曲线放在同一个图形界面中,观察各个曲线的光滑性和适用性。

图1 3种插值函数曲线及10个插值节点Fig.1 Three interpolation function curve and 10 interpolation nodes

可以清楚地看出,利用拉格朗日插值法得出的结果根本不能应用,原因在于它的插值曲线走势陡峭,不够稳定,高次插值(n＞7)收敛性差[4],在x=1.0和x=3.8处有明显的急弯。分段线性插值得出的结果光滑性较差,观察到的曲线有略微明显的急弯,尤其在x=14处不够圆滑,但比拉格朗日插值曲线的收敛性、稳定性强,而且方法简单适用、计算量小。相对于拉格朗日和分段线性插值法,三次样条插值的结果就比较好,它克服了拉格朗日插值函数的缺点,不仅收敛性、稳定性强,而且也很容易实现,应用也十分广泛。所以建议选用三次样条插值的结果。

计算实例2通过Matlab编程得到的图像如图2所示。

从图2(a)中可以看出,拉格朗日插值在起始节点处波动很大,不太符合实际情况。图2(c)和图2(d)是分别使用非扭结边界条件和边界为两阶导数的三次样条插值,可以看出,使用非扭结边界条件在边界处波动稍大,第二种边界条件更好。而如图2(b)所示的分段线性插值在有些地方不是很光滑。

表2 北部湾蓝圆鲹体长和体重的实测原始数值Tab.2 Beibu Gulfround scad body length and weightofthe originalvalue of the measured

图2 3种插值方法得到的插值曲线Fig.2 Three interpolation function curve

3 结论

拉格朗日插值是一种最常见的多项式插值法,也是一种最常用的逼近工具。利用两个计算实例给出的数据,结合Matlab编制程序,可以直观地画出所需数据的插值曲线,从图中不难看出,拉格朗日插值的方法并不适合,它的光滑和稳定性很差。否定了拉格朗日插值法后,接着利用分段线性插值法,以同样的方式作出曲线后发现,分段线性插值法的光滑性较拉格朗日插值法强,但观察到的曲线也有略微明显的急弯,稳定性弱。最后,再利用三次样条插值法以同样的步骤构造曲线后,发现得出的图像不仅收敛性、稳定性强,而且也很容易实现。

[1]MATHEWS J H,FINK K D.数值方法(Matlab法)[M]. 4版.周璐,陈渝,钱方,等译.北京:电子工业出版社, 2005.

[2]李岳生.样条与插值[M].上海:上海科学技术出版社, 2009.

[3]赵静,但琦.数学建模与数学实验[M].北京:高等教育出版社,2003.

[4]BURDEN R L,FAIRES J D.Numericalanalysis[M].7th ed.Boston:PWS,2001.

Application and Comparison ofthe One-DimensionalInterpolation Algorithm in PracticalProblems

XING Li
(Schoolof Science,ShanghaiSecond Polytechnic University,Shanghai201209,P.R.China)

Lagrange interpolation,piecewise linear interpolation and cubic spline interpolation methods of theoretical knowledge is focused on,combined with mathematicalsoftware Matlab programming toolfor machining parts problems to study and compare their suitability of the curves obtained by the three interpolation methods.Atthe same time,itis analyzed and determined which curve best reflects the relationship between the actualproblems.

one-dimension interpolation;Lagrange interpolation;piecewise linear interpolation;cubic spline interpolation

P315.31

A

1001-4543(2013)04-0311-04

2013-08-28;

2013-10-28

邢丽(1978–),女,山东人,副教授,硕士,主要研究方向为偏微分方程数值解,电子邮箱xingli@sspu.edu.cn。