弱下邻及其性质

马晶晶，卢 涛，杜银玲，朱润秋

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000)

文献[1]中详细地给出了way-below、辅助关系的概念及其相关性质，其中包括way-below的插入性质.王学平等在文献[2]中引入一种关于辅助关系的概念—下邻，本文则根据下邻的相关概念和性质结合way-below关系和辅助关系定义弱下邻这一概念，并在既约元，弱完全并既约元的基础上讨论弱下邻在不同背景下的一些简单性质.

1 预备知识

下面是一些基本的预备知识.

定义1.1[1]设 L是偏序集，x，y∈L，对任意定向集 D⊆L，当 supD存在且 y≤supD时，有 d∈D，使x≤d，称 x way-below 于 y，记作 x＜＜y.当 x＜＜x时称 x是 L 的紧元.用 K(L)= ｛x∈L:x＜＜x｝表示 L 的全体紧元.

定义1.2[2]设 L是偏序集，对于任意给定的 a，b∈L，若 b＜a，且 x∈L，b＜x＜a不成立，则称 b是 a的下邻，记作 b≺a.

性质1.1[1]设 L是偏序集，对于任意的 u，x，y，z∈L，“≺”是 L上的辅助关系，下列结论成立

(1)x＜＜y⇒x≤ y;

(2)u≤ x＜＜y≤z⇒ u＜＜z;

(3)x＜＜y⇒x≺ y.

证明(3)若 L有最小元 0，则0＜＜x，再结合(1)、(2)式，根据辅助关系定义知:x＜＜y⇒x≺y.

定义1.3[2]设 L是并半格，对于任意给定 x，y，a∈L，当 a=x∨y蕴含 x=a或 y=a，则称 a为 L的并既约元.全体并既约元构成的集合记为 J(L).

定义1.4[3]设 L是 dcpo，a∈L，如果对于任意 I∈Idl(L)，由 a=∨I可推出 a∈I，则称 a为 L的弱完全并既约元.全体弱完全并既约元记作 RW(L).

性质1.2[4]设 L 是并半格，对任意 x，y，a∈L，若 x∨y＜＜a，则 x＜＜a 且 y＜＜a，由此易知:若 x∨y≺a，则 x≺ a，y≺ a.

证明假设 x∨y≺a时，存在 b∈L使得 x＜b＜a或 y＜b＜a.不妨设 x＜b＜a成立，则 x∨y≤b∨y≤a与 x∨y≺a矛盾，故假设不成立.

定义1.5[1]设 L是dcpo，辅助关系“≺”称为逼近辅助关系当且仅当集合 S≺(x)=｛u∈L:u≺x｝为定向的且对于任意 x∈L，x=sup｛u∈L:u≺x｝=supS≺(x).全体逼近辅助关系构成的集合记为 App(L).

2 主要结果

定义2.1 设 L为偏序集，对于任意的 a，b∈L，≺为 L上的辅助关系，若 a≺b，且∀x∈L，a≺x≺b不成立，则称 a为 b的弱下邻.记作 a≺'b.

注1 ≺'实际是不满足插入性质的辅关系的特殊情况，规定 x≺'y⇒x≤y.

性质2.1 设 L是并半格，对任意的 x，y，a∈L，若 x≺'a，y≺'a，则 x∨y≺'a.

证明假设 x∨y不是 a的弱下邻，则存在 z∈L，使得 x∨y≺z≺a成立.于是 x≺z≺a，y≺z≺a成立 .故与 x≺'a，y≺'a矛盾，因此 x∨y≺'a.

定义2.2 设 L是完备格，对于任意的 a∈L，若 a≺'a，则称 a为≺'-紧元.L的全体≺'-紧元组成的集合记为 K'(L)，即 K'(L)= ｛a∈L:a≺'a｝.

易知:(1)设0为 L的最小元，显然0≺'0，从而 K'(L)≠Ø.

(2)∀a，b∈ L，若 a，b∈K'(L)，则 a∨ b∈ K'(L)，a∧b∈ K'(L).

证明过程仿性质2.1.

定理2.1 设 L是并半格，≺是 L上的辅助关系，若对于任意的 a∈L，存在 x，y∈L且 x≠y，x，y至少有一个是紧元，使 x≺'a，y≺'a，则 x‖y(x与 y不可比较).

证明不妨设 y∈K(L).若 x＜y，于是 x＜y＜＜y≤y≺a，则 x＜＜y≺a，即 x≺ y≺a，与题意矛盾.若 y≺x，于是 y≤y＜＜y＜x≺a，则 y＜＜x≺ a，即 y≺ x≺a，矛盾，故 x‖ y.

定理2.2 设 L是dcpo，≺为 L上的逼近辅助关系，a∈J(L)，则 a至多有一个弱下邻.

证明设 x≺'a，y≺'a，则 x≺a，y≺a且 x∨y=a.因为 a∈J(L)，所以 x=a或 y=a.不妨设 x=a，则 y≺'x≺'a，于是 y≺x≺a.由弱下邻定义得，y≺x≺a与 y≺'a矛盾，故 a至多有一个弱下邻.

定理2.3 设 L为dcpo，对于任意的 a∈L，若 a∈RW(L)，则 a至少有一个弱下邻.

证明设 a∈RW(L)，则 a≠0，且｛u∈L:u≺a｝- ｛a｝≠ φ，为了方便，不妨设 U= ｛u∈L:u≺a｝-｛a｝.因为 L是dcpo，则 U也是dcpo，进而∨U存在，∨U≤a.若∨U=a，对于任意 x∈U=｛u∈L:u≺a｝-｛a｝结合 a∈RW(L)，则 U不是定向集，于是对于任意 p∈U，存在 x，y∈U使得 xp≺a，yp≺a，则x，y至少有一个是 U中的极大元，即 x，y中至少有一个是 a的弱下邻.若∨U＜a，不妨设∨U=b＜a，假设存在 x∈L，使得 b≺x≺a，则 x∈U，于是 x≤∨U=b与 x＞b矛盾.故 b是 a的弱下邻.综上可知，a至少有一个弱下邻.

推论2.1 设 L是dcpo，≺是 L上的逼近辅关系，则若 a∈RW(L)，则 a有唯一弱下邻.

证明结合定理2.2与定理2.3可证.

定理2.4 设 L是完备链，则对于任意的 a∈L，a没有弱下邻.

证明假设 x∈L且 x≺'a，则易知 x≤a.因为 L是完备链，故 x≤a蕴含 x＜＜a，于是存在 z∈L，使得x≺ z≺ a，矛盾.

[1]GIERZ G，KEIMEL K，SCOTT D S，et al.Continuous lattices and domains[M].Cambrige:Cambrige University Press，2003.

[2]屈小兵，王学平.完备格上并既约元的性质[J].模糊系统与数学，2004，18(z1):176-179.

[3]姜广浩，韩贵文，蔡锦.弱完全并既约元及其应用[J].模糊系统与数学，2012，26(2):160-163.

[4]寇辉，刘应明.Smyth幂半格及其连续Domain表示[J].数学学报，2002，45A(2):209-214.

[5]BIRKHOFF G.Lattice theory[M].3th ed.AMS Colloquium Publications，1979.