数学中的类比归纳

李文天，安立坚，阴燕华

一、引言

美国数学家.波利亚曾说过，“科学家处理经验的步骤，通常称为类比归纳法。类比归纳法的例子可以在数学研究中找到。”拉普拉斯也说过，“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”

类比归纳法是数学中最基本的方法之一，它有很大的创造性。许许多多有关数学的理论及数论的结果都是类比归纳的产物，而且有不少数学家都是类比归纳大师，高斯就曾说过，他的许多定理都是靠类比归纳发现的。通过阅读数学大师波利亚的名著《数学与猜想》，结合一些实例对类比归纳在数学各分支及其它领域对引入新概念、新规律做一个比较系统而又实用的分析探讨。

二、类比归纳的内涵

（一）类比归纳的概念

“类比”，在古希腊语中是比例的意思。起初仅仅表示数目之间的一定关系，后来用在逻辑学上，作为获得推出新知识的一种形式，即类比归纳。G.波利亚说过，“相似对象在某些方面有一致性，如果把它们相似的地方化为明确的概念，那么就把相似的对象看作是可以类比的。如果你把它变为一个清楚的概念，那么也就阐明了类比关系。”

所谓“类比”就是将未知事物与已知事物进行对比比较，根据对象属性在某些方面的相似处或相同点，进而推出未知事物也有可能显示已知事物的某些属性的方法。所谓“归纳”就是对个别或特殊事物概括出相同的本质或一般原理的逻辑思维方法，逻辑学上又称归纳原理。在类比归纳过程中，寻求熟知的旧知识和陌生的新知识之间的相似原则的原理，可以让同学们对知识经过正向迁移，做出合理大胆的假设或推理，进行类比归纳的探索，从而发现解决问题的新思路，这种教学法叫做类比归纳。

（二）如何建立类比归纳思想

类比归纳的模式是简单的，但是具体的类比归纳情况是多样复杂的。那么我们想象一下事物之间的相似是怎样建立起来的，又是如何进行归纳的呢？这其中有几个关键的环节。

首先，从已知的经验引出最正确的信心。经验改变人们的信念，我们应该从经验里学习。能够充分地利用经验是人类一项伟大的任务，为了这个任务而努力工作是科学家们的应有使命，科学家们为了建立关于某个问题的正确信念而积累最正确的经验。一般处理经验的方法，通常称作类比归纳法。

其次，对事物间的相似从一般化到特殊化到类比再到归纳的启发性联想。在1900年国际数学家大会上，伟大的数学家希尔伯特所做的著名演讲《数学问题》中讲了一般化与特殊化方法。一般化、特殊化是类比思维的左膀右臂。每当我们遇到一个新问题时，你会试图想起一个与此有关的类似的比较简单的问题吗？虽然这是一句简单的话，却还是一句特殊的提示语，“与此有关”和“类似”，这就牵涉类比，只有正确有成效的类比才有可能引导我们解决适当的特殊问题。例如，我们从三角形考虑到任意多边性，从多边形转化为考虑正多边形，还可以从正多边形转化为考虑等边三角形，而且通过类比考虑到不同的立体图形。

再次，检验一下类比归纳出的结论，即支持性联想。对于归纳得出的结论，要验证它是正确的还是错误的。只要对于一个一般命题在新的特例中仍得以证实，那么此时它就会变得更可信了。

由此可见类比归纳的过程：对于某个问题，抽取同类事物的特征，于是激起某一相似事物的另外一个问题，从不同角度、层次、背景建立类比关系，对照问题是否发现类比关系。如果有，然后进行知识的迁移、类比、归纳、总结。最后，检验疑问是否解决。

三、类比归纳引入数学新知识

类比归纳可以使学生对新旧知识有很好的对比理解，很容易记忆一些相似的知识并得到快速的应用，常常可以解决一些无从下手的问题。对于老师，可以在实际的教学中突破一些教学难点，深入浅出地引入一些新概念和新规律，在教学中起到事半功倍的效果，是值得运用的一种教学方案。

（一）初等数学中互逆运算的类比归纳

初等数学中余弦与反余弦运算，余切与反余切运算，正切与反正切运算有相应的恒等式，并二者分别互为逆运算。

根据上面三组互逆运算的性质，可以把关于逆运算的思想合理地类比归纳在微积分上，微分与（不定）积分运算互为逆运算，但不同的是在先微分，后积分的运算时，所得结果要在函数上再加一个积分常数，这是不定积分的性质所决定的。

逆运算广泛地存在于数学的教学内容之中，上面的互逆运算有一定的类似之处，但由于各自的性质又略有不同。在实际教学中，善于运用类比归纳可以让同学们很快了解它们的性质，并形象直观地掌握新旧知识之间的联系，便于深入理解知识，不易忘记。对于上面的逆运算可以简单地归纳为：如果对某一事物进行某种运算后，再做逆运算，则得到该事物的回归，也就是这两种运算的抵消。这种抵消可以运用到数学中互逆的各种运算，也可以用在其它领域中，比如物理学中的作用力与反作用力的相互抵消。

（二）立体几何中多面体的类比归纳

数学上，立体几何是三维欧氏空间几何的传统名称，因为实践上这大致上就是我们生活的空间。立体几何是研究空间几何图形性质的一门学科,它主要是借助图形（如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥及球等等）的各种变换来研究空间图形的性质。

初学立体几何，首先知道每一个多面体都有面、棱、角，这种模糊的说法几乎每一个人都有所了解，但大多数人没有认真地去深入研究这句话的意义，也没有在此基础上去探究更精确的知识。从不同角度熟悉一个多面体的面、棱、角及性质后，我们在解决复杂的几何问题时才可得心应手。

现在我们提出一个问题：人们潜意识里认为一个多面体的面数目是随顶点数目的增大而增大，是否正确呢？

认真地观察我们熟知的几个多面体，例如三棱柱的面数是五、顶点数是六、棱的数目是九；立方体的面数是六、顶点数是八、棱的数目是十二；五棱柱的面数是七、顶点数是十、棱的数目是十五；三棱锥的面数是四、顶点数是四、棱的数目是六；四棱锥的数面是五、顶点数是五、棱的数目是八；五棱锥的面数是六、顶点数是六、棱的数目是十；八面体的面数是八、顶点数是六、棱的数目是十二等等。观察上面数据，是否多面体的面数随顶点数目的增大而增大呢？比较一下，上述问题是不成立的，即对于多面体建立的面数随顶点数增大而增大的规律是不成立的。它们之间到底有什么样的关系呢？通过观察，面、顶点和棱都不会单独随其中任何一个增大而增大，但是否会有二者的联合增大而增大呢？再次观察，发现上面的多面体都符合这样的规律，即面数加顶点数等于棱数加二。通过一般到特殊到类比得出一个关系，对于任何多面体来说，面数加顶点数等于棱数加二。对于归纳出的结论是否成立，我们得去检验。

上述已经验证了立方体和八面体，用上面类比归纳所得的关系去验证一下十二面体和二十面体。十二面体，有十二个面，每个面都是五角形，每个顶点处有三个面。十二个五角形共有六十个边，但每个边都有两个边重叠，故有三十个棱。同理，十二面体每个顶点处有三个面，十二个五角形共有六十个角，但每个顶点处都有三个五角形的顶点，故有二十个顶点。即面数是十二，顶点数是二十，棱数是三十。同理，二十面体有二十个面，每个面都是三角形，每个顶点处有五个面，故面数是二十，顶点数是十二，棱数是三十。这两种情形也满足我们类比归纳出的关系，即面数加顶点数等于棱数加二。

以上只是举了一些特殊的棱柱和棱锥，那么对于所有的棱柱和棱锥成立吗？对于无限数目的多面体也同样成立，即对于我们初高中学习的各种多面体都成立。

通过类比归纳，我们对多面体有了一个更深层次的了解，学生可以用同样的方法去研究直线分割平面或平面分割空间等问题，对于以后学习立体几何、直线与平面及直线与圆锥曲线那部分知识有很大的用处，解决问题时能够深入了解并熟练运用。

（三）数学疑难问题中的类比归纳

数列问题以其多变的形式和灵活的解题方法备受高考、会考和模拟考试命题者的青睐，历年来都是高考命题的“热点”。对学生来说，数列既是重点，又是难点，常常用到的就是数学类比归纳思想。

直到今天，对于数论中最著名的哥德巴赫猜想，即“每一个大于四的偶数都是两个奇素数的和”，仍是一个我们所不能证明也不能推翻的关于数的一个问题。对于它的证明，许多科学家都是经过类比归纳推理的。虽然它导致一些错误，但是只有在前人的教训及经验的基础上才导致了后来人对其更精确的推理，这才是它格外值得珍视的地方。我国数学家陈景润在此问题的研究上取得了国际最先的研究成果，于1966年证明：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常简称这个结果为大偶数可表示为“1+2”的形式，称为陈氏定理。他作为数学家运用类比归纳法探究所研究的问题，我们也应该运用到我们的学习中，尽量学会知识的类比、迁移、归纳总结，加强对知识的理解及应用，起到温故而知新的作用。

四、小结

重视加强类比归纳思维的训练可以引导学生发现新知，并运用所学的知识，做知识的类比、迁移、归纳总结，加强对知识的理解及应用，起到温故而知新的作用。还可以激发学生主动性和研究兴趣，培养勇于探索精神，形成严谨治学态度。在以后的学习生活中我们应培养类比归纳的思想,融会贯通各个学科间的联系，如运筹学、化学、管理、医学、生物学、计算机等领域，类比归纳极大程度上推动了这些学科的发展，并值得我们去进一步研究及应用。

[1]（美）波利亚.数学与猜想[M].北京：科学出版社，1991

[2]赵永青.浅谈类比归纳推理[J].哈尔滨市委党校学报，2005，(3)

[3]程友元.关于逆运算的类比归纳法教学研究[J].数学教育报,2007，(17)

[4]陈显强.浅谈类比归纳法在数学中的应用[J].广东广播电视大报，1999，(3)

[5]姜丽妍.归纳和类比方法在中学物理教学中的应用[J].丹东师专学报，1994，(1)