数值分析课程教学改革的若干举措

杨少华

数值分析是研究各种数学问题计算方法的课程，其研究内容繁杂，包括函数逼近、非线性方程与方程组的数值解法、数值微分与数值积分、微分方程初值问题的数值解法等，把数学理论与计算机技术紧密结合起来，重点研究数学问题的近似解求法及理论。随着计算机技术的普及和发展，数值求解方法在生产实践、工程技术和社会发展等众多领域中的应用越来越广泛，如力学、物理学、航空航天、能源开发和金融风险投资等领域内的有关人员，都将计算方法作为自己领域内的一种重要的应用工具。

数值分析有着数学课程的高度抽象性、理论严谨性，又有着自身的广泛实用性。该课程以培养学生的数值算法设计原理和理论分析能力为目标，要求学生能根据数学问题建立模型，设计出计算方法，然后上机运算出结果，使学生在掌握理论基础的同时，具有抽象思维能力和解决问题的能力。由于其广泛的应用性，数值分析目前已成为很多专业的必修课程。因此，进一步提高数值分析课程的教学效果，改进数值分析课程的教学方法，成为高校教师关注的焦点。

1 数值分析与计算机技术关系密切

随着计算机技术的发展和完善，许多领域的科学研究越来越离不开计算机，而数值分析与计算机的联系更是密切。它需要设计出合理可行、能经得起误差检验、有好的计算复杂性的算法，然后通过计算机的运行得到数值解，这是它不同于其他数学课程的显著特点。在此，数值分析中的算法设计起到桥梁作用，它把该课程的理论基础与计算机技术紧密联系在一起，为得到数值结果起到重要的作用。

1.1 计算结果需要进行误差检验

数值分析主要研究算法设计原理，利用计算机得到较高精度的数值解，然后对结果进行误差分析。误差分析是一个重要而复杂的过程，而对误差进行定量分析更是一个复杂的过程，通常只能对数值结果进行定性或可靠性分析，因此，算法的设计必须有坚实的理论基础，具有收敛性和数值稳定性，也就是说能无限逼近真实解，达到计算的精度要求。而稳定性分析建立在相应的数学理论基础上，因此要求算法设计者具有扎实的数学功底。误差分析因其复杂、抽象、理解较困难，一直都是数值分析课程的教学重点和难点。在实际教学中可通过一些简单的例子让初学者掌握误差分析的基本方法，由浅入深，达到最终的教学目的。要让学生明白数值计算过程中不可省略误差的分析与检验，而对误差的准确分析与检验需要扎实的数学理论功底。

1.2 计算方法要合理可行

由于数值分析与计算机的密切关系，在解决计算复杂、非人力所能解决的计算问题时，要设计出计算机能接受、满足精度要求、计算省时的优良算法。因此，要设计出合理、可行的算法，同时准确地将算法描述成计算机所能接受的程序，这是得到数值解的关键环节，否则无法得到结果。在教学中，要让学生掌握算法设计的方法、规则和描述语言，在实例中感受和理解设计出合理可行的算法的重要性，教师在上课时必须注意这方面的训练。

1.3 算法的设计要符合计算机的特点

计算问题的最终目的是要把设计好的算法转换成计算机所能接受的某种语言，然后通过计算机运算出结果，所以算法的设计还需要考虑到辅助工具计算机的特点。针对具体问题在一定限制条件和思想指导下设计出具有好的计算复杂性的算法，这包括两方面内容：其一是指时间复杂性，能节约运行时间；其二是指空间复杂性，能节省存储空间，这是算法设计的基本要求，它对能否得到计算结果起到关键作用。在教学中，教师应加强学生对算法复杂性分析的训练，引导学生进行算法设计与改良，指导学生进行独立性学习，培养学生的创新意识，设计出节约运行时间、节省存储空间的算法。

1.4 试验在数值分析中占据着至关重要的地位

具备上述3个特点的算法最终还要被证明是行之有效的。算法设计的复杂性和计算机运行的特点使得算法可能出现异常结果，不符合实际意义，所以教师在传授理论知识的同时，还要加强培养学生分析、解决问题的能力。通过算法设计实例的讲解，引导学生主动理论联系实践，提高学生解决数值计算问题的实际能力。此外，还要重视对数值计算结果的分析、讨论。通过对实验的体会和回味，使学生了解算法设计的优缺点，验证数值结果的可靠性，解释出现异常结果的原因，进一步巩固和消化理论知识，提高科学计算能力。

2 传统数值分析教学中出现的突出问题

2.1 内容、知识点多，难以全面掌握

数值分析这门课程内容比较多，信息量比较大，对于既需要接受理论基础的学习又要完成试验课任务的学生来说，一个学期的教学时间远远不够。想让学生在规定的教学时数内真正掌握这些内容比较困难，数学专业的学生已经具备一定的数学基础，情况相对来说会好一些，而对于非数学专业的学生而言情况可能会雪上加霜。

2.2 片面重视理论，授课方式单调

目前，数值分析的教学中依然存在理论与实践严重脱节的问题，然而这门课程具有很强的实践特征。由于教学时数不够，大多数教师只讲授书本的理论部分，学生无法真正理解理论的用处，不能体会到理论对实践的指导作用。很多学生只是为了考试而学习，这样他们只获得了表层知识，而没有抓住知识的精髓和实质。

2.3 理论晦涩、公式繁杂，不利于记忆

数值分析是数学的分支，与其他数学课程一样有着抽象的理论，但数值分析还具有其他数学课程所不具备的实践性强的特点。之前学生对数学课程的学习大都是先学习理论，然后根据理论完成相应的作业，逻辑推理的特性比较强，并且知识结构的衔接非常紧凑，而数值分析各部分内容自成体系，逻辑性、连贯性不强，学习内容的巨大差异，加上学生的思想模式不能很快转变，使得教学效果差强人意。此外，数值分析比之前所学的其他数学课程的公式更加繁杂，证明过程更是抽象，这也是学生不感兴趣的主要原因。学生对数值分析这门课程的重要性认识不足，不能领会到数值分析这门课程对后续课程学习的重要作用，在学习中稍稍遇到困难时，他们往往就知难而退，丧失了学好课程的信心。

3 数值分析教学改革的举措

3.1 优化教学内容，减小学习压力

数值分析课程的教学内容多、任务重，但学时有限，所以我们要仔细筛选，做到重点突出，但同时能圆满完成教学大纲规定的任务。为使学生在理论课程的学习过程中能熟练掌握现代科学计算中常用的数值计算方法，在教学过程中要及时将教研、科研成果向学生介绍，使他们了解本学科最新的研究成果，开拓视野，激发他们的学习兴趣，形成完整的理论体系，为学习后续课程奠定基础。实验课教学是数值分析课程必不可少的教学环节，这个过程主要是使学生根据之前掌握的计算机知识和相应的数学软件把设计出的算法编程，利用计算机运算出结果，然后分析结果的可靠性，可以培养学生利用计算机进行科学计算和解决实际问题的能力，为以后从事科学工作打下良好的基础。为实现这一目的，课前要根据教学内容详细地设计实验课，要求学生熟练应用数学软件编制程序，上机实现算法，仔细研究、分析实验结果，将理论与实践相结合，培养自己的实践能力。

3.2 培养学习兴趣，激发求知欲

课堂教学是教师传授知识的主要方式，由于数值分析的内容抽象、公式繁杂，学生难免会有畏惧的心理，在听课的过程中稍稍走神，后面的内容就会听不懂。因此，对数值分析的教学要特别注重课前的预习，在讲每一部分内容之前把这一章和每个小节的主要内容及解决问题的思路告诉学生，引导学生对新内容进行预习，课外独立思考，寻找补充材料，让他们考虑能否得到问题的准确解。在教学环节上，可采用以数值问题产生的背景为出发点，仔细讲解问题的分析过程以及如何设计出合理的算法，最终上机运算出结果的方式，这样可以唤起学生的学习热情，提高他们的学习兴趣。此外还可以应用灵活的教学方式，如设计出难易适中的问题，在课堂上让学生分组讨论、给出结果，并对他们的结果进行分析与评价，这样既可以调动他们学习的积极性，还可以促使他们相互启发，不断深化认识，使问题的解决方案逐渐完善，让学生从中体会到成功的喜悦和学习的乐趣，激发他们学习的热情。

3.3 多学科相融合，培养实践能力和创新能力

数值分析是培养学生实践能力的最佳课程，因为它需要人们通过计算机解决数值计算问题，所以掌握好计算机知识、增强学生的实践能力是学好该课程的关键。选择合适的教学软件，将数值理论方法和计算机知识相结合，处理一些实际问题，在解决问题的过程中让学生找到自己的不足之处，然后老师给出具体启发性、引导性的回答，培养他们独立解决问题的实践能力，提高学生的综合素质，使学生真正学好这门课程。另外，教师还要高度重视培养学生的自学和研究等创新能力，改变学生理论知识与实际应用脱节的问题。在教学时，由介绍新知识产生的背景将新知识引出，需要教师在课前充分备课，查阅文献资料，向学生介绍问题是如何产生的，对问题进行剖析，建立数学模型，最终解决问题，为创新能力的培养奠定扎实的理论基础。另外，针对教材内容陈旧、作业形式单一等问题，教师可以通过布置一些简单的学术文献阅读来弥补教材内容陈旧的缺陷，提高学生的创新能力。在实施的过程中，可对班里的同学进行分组，对组内成员的工作进行分工，将问题的处理过程写成论文，并安排陈述和答辩，这对学生的团队合作能力和创新能力的提高有很大的帮助。

3.4 建立科学的考核机制

在传统的教学中，判断学生对知识的掌握情况往往是通过闭卷考试，这一方式往往没有考虑数值分析突出的实践性特点，将学生引入学习的误区。这门课程的考核应该将平时成绩（书面作业和上机作业）和期末成绩相结合，按一定比例算出最终的综合成绩，兼顾到对理论知识的掌握和实际动手能力的考核，而科学的考核机制将为学生更好地学习这门课程、教师完成教学大纲规定的教学任务指出明确的方向。

4 结语

数值分析是一门理论抽象、公式繁杂、不易记忆、实用性很强的课程。根据以上特点，我们提出以学生为中心，合理地选择教学内容，注重培养学生的学习兴趣，锻炼学生的实践能力，培养学生的创新能力，改进考核方式和手段等相应的教学改革举措，提升了教学效果，增强了学生学好数值分析课程的信心。当然，数值分析课程的教学改革仍处在摸索阶段，在今后的教学中，我们还要不断地改进教学方式、方法，力争达到更好的教学效果。

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