初等函数读图教学突破策略

刘菊芬，田朗华，吴 芳

（ 铜仁学院 教育科学系，贵州 铜仁 554300 ）

前苏联数学家A.A斯托利亚尔在他著的《数学教育学》一书中指出：“阅读函数图像的技能是专门教学的结果”，他还指出“函数图像实质是一种特殊的语言，为了明白它的意义，必须象对待所有语言一样，专门地进行学习”[1]。阅读函数图像是指通过对函数图像的观察研究，认识、理解函数的单调性、极值、零值、正值、负值、对称性、定义域、值域等函数性质，并能用正确简洁的语言把性质表达出来，能用函数性质、图像解决有关问题。函数图像是数学中一种特定的符号语言，要理解这种符号语言——函数图像所承载的数学信息，需要一定的数学技能。国内专家认为，数学技能是通过实际操作获得经验而逐渐形成的能完成数学活动的一种动作方式，它需要通过练习才能掌握。国内学者专家对地理教学的读图问题研究较多，研究数学教学中的读图问题多数以小学的数学教学中的读图问题为研究对象，对中学函数读图问题的研究较少，本文在分析中学基本初等函数教学中读图教学存在的问题的基础上，提出了函数教学中培养学生读图能力的对策。

1．基本初等函数教学中读图教学现状

函数是中学数学教学的重点和难点，是学生进入高一级学校学习数学时的主要内容之一，也是高考考查的重要内容。基本初等函数是函数中最基础也是最重要的内容，因此学好基本初等函数是学好函数其它内容的前提和基础。然而很多老师对基本初等函数常常按概念、作图、性质的顺序进行教学；引入概念时一字一句地解释其意义，然后画出函数图像，再根据图像归纳出函数性质。教学中我们发现有不少学生认为基本初等函数概念抽象、难理解、学不懂。函数是量与量之间的对应关系，这种对应关系可用数学式子、表格或图像表示，这三种表达方式在表示函数关系及运用时各有优势，其中用图像表示函数的优势是“能直观形象地表示函数的变化情况”。函数图像是以自变量取值为横坐标，相应函数值为纵坐标的点的集合，因此这些点的集合即函数图像可以反映出函数的许多信息，是函数性质的直观表示，用函数图像来研究函数可以把复杂、抽象的问题转化为简单、直观形象的问题，是降低抽象性以促进对函数理解的重要途径。怀特海指出：“术语和符号的引入，往往是为了理论的易于表述和解决问题。特别是在数学中，只要细加分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来极大的方便，甚至是必不可少的。”但从学生在学习中的表现却很难看到函数图像对函数学习带来的方便和帮助，究其原因是部分教师教学中重视作图，但对读图的意义、价值认识不足，忽视对函数图像的解读；认为函数图像一目了然、显而易见，对读图采取一带而过的方式，导致学生读图意识弱、读图能力不强，不能较好地掌握从函数图像得出其性质，用图像解决问题的意识淡薄，使函数图像存在的意义、价值大打折扣，图像功能不能最大化利用。其实，函数读图看似浅显但道理并不简单，要正确理解图意需要专门的知识与训练，读图是直观理解函数的基础，是学习函数的基本功，一种基本能力。可见，读图问题不仅影响基本初等函数的学习，还影响函数其他内容的学习。

2．提高学生读图能力的对策措施

2．1．明确读图在函数教学中的地位和作用

《数学课程标准（实验稿）》指出：“要培养学生直接从图中搜集、分析和处理信息的能力”。心理学研究显示，人的一切行为都是有目的的。教学中清楚为什么教比明白教什么、如何教更有意义；从为什么教的角度去考虑教什么、如何教，使教学更具针对性和目的性。虽然基本初等函数的描点作图法、从图像得出性质的做法都有失严谨，但人的认知特点就是从初级到高级、从不严谨到严谨，因此在函数学习初期即学基本初等函数时，描点作图及从图像得出性质的做法是符合认知规律的，也是科学合理的，是学习中不可缺少的过程。基本初等函数的读图教学是教学生如何根据基本初等函数图像发现函数性质，养成用图像解决问题的习惯与能力，使更多学生能通过图像直观地理解函数的概念与性质，提高学习函数的兴趣，改善函数教学的效果。

如今，信息技术在教学中广泛运用，使许多在过去的教学中靠想象实现的东西变得可视。从而使一些问题的处理方法，从分析法转化为分析与直观相结合的方法，无疑这种改变使教学内容更容易被学生接受，但是伴随这种转变的是对学生从图像中读出相关信息的能力要求更高了，这也是在函数教学中加强读图能力培养的原因之一，因为这不仅能促进学生对函数的学习理解，也是培养学生在现代社会学习能力的一种措施。

2．2．教学中提供读图示范

美国数学家波利亚认为：“学习的途径就是模仿和实践，而模仿需要有榜样，教学中教师要为学生提供可供模仿的例子与榜样，模仿的目的是为了实践。”[2]函数读图是一种数学技能。要培养这种技能，教师就要在基本初等函数教学中有意识、有计划地设计教学活动，引导学生体会函数图像所包含的数学信息。还要让学生明白，函数图像不同于生活中的其它图像（如比例图中的图形，代表某种实物，没有数学意义），读懂图形语言需要一些数学常识，如函数定义域为(a,b)时，在区间两端点没有图像； x1﹤x2时f(x1) ﹤ f(x2)在图像上意味着什么等等。了解函数图像的产生过程：函数图像是满足函数关系的点的集合。对于没有意义的点附近（如 y = t anx在x=π2附近）及无穷远处（如 y = 2x在时）的图像，根据函数表达式及已经画出的图像，用想象力在大脑中完成。为了让学生了解如何读图，设计教学环节，让学生参与教学活动，在操作中体会读图的方法、步骤。如学习指数函数时，给出指数函数的定义，然后请学生画出指数函数 y =2x、 y = 3x的图像，观察研究两个图像的相同点和不同点，回答下列问题：（1）图像在横轴上方或是下方? 图像都过哪一点？（2）x ﹥ 0 时，对应的函数图像有何特征？当x取正值且不断变大时对应的函数值变化趋势如何？（3）x﹤ 0 时，对应的函数图像有何特征？当x取负值但绝对值不断变大时对应的函数值变化趋势如何？（4）当 x → 0 时，对应的函数值变化趋势如何？通过这些问题有序地、全面地引导学生观察图像，不仅观察已经画出来的图像还观察没有画出来的部分，使得对函数情况有一个较全面的认识。对上述问题进行归纳总结，得出底数大于1的指数函数的性质：定义域是R；值域为(0,+ ∞ )；图像过点(0,1)；是增函数即自变量越大时相应的函数值越大。这样的读图不仅对函数有一个较全面的了解，也为学习函数极限打下了基础。

又给出问题比较 34/5, 35/6的大小，有的学生思考后提出用根式的性质来做，在用根式性质作出解答后，老师再提出能否把这两个数看成函数 y = 3x在x = 4 /5,x = 5 /6时的函数值，于是把问题转化为用指数函数的性质来解决。根据指数函数与对数函数的关系作出 y = l og3x的图像，列出问题要求学生根据图像回答，归纳出底数大于1时对数函数的性质。这些都是在教师主导下、学生参与的教学活动，这样的活动有助于培养学生重视函数读图、用图像解决问题的习惯与能力；拓宽学生解决问题的思路、提高解题能力，还将体会到函数图像貌似简洁直观，其实隐藏着众多的信息，需要用专业的眼光，刻意去体会、挖掘。遗憾的是有的教师以为从图像得出函数性质是显然的，没有必要就图像多作解释，于是图像一出来，三言两语后函数性质便一一罗列出来，这样的处理是导致部分学生在基本初等函数学习中出现问题的最主要原因。

教学中有的知识是显性的，它容易引起关注重视；而有的知识是隐性的，常被忽略，只有遇到问题时才会想到它的存在和重要。“显”与“隐”是相对的，在一定条件下可以互相转化；函数教学中图像是“显”的，而图像蕴含的性质是“隐”的，从图像发掘函数性质就成了把“隐”化“显”。研究显示，学生的数学学习是在已掌握的知识、技能的基础上迁移或建构的过程，任何知识、技能的缺失都会影响迁移和建构，进而影响学习效果。学生由于认知方式、认知能力的差异对同一问题的看法难免不同，对某些学生显然的东西对其它学生可能不显然，学生学习能力、学习兴趣的差异是客观存在的。教学中不能把一切基础的东西视为显然，细节决定成败，应根据教学内容设计问题并以此为学生作示范，让学生了解、学习如何解读函数图像。宋乃庆等指出：“教师不再只是一个课程知识的被动传递者，而是一个主动的调适者、研究者和创造者”[3]。

2．3．加强读图练习

物理学家李希坦伯格指出：“那些曾使你不得不亲自动手发现了的东西，会在你脑海中留下一条途径，一旦有所需要，你就可以重新运用它。”波利亚对此有类似的论述：“只要经过了你自己的体验，那么它对你来讲就可以成为一种楷模，当你在碰见别的类似的问题时，它就是可供你仿照的模型。”[2]大师们的忠告提醒我们，学生只听课而不动手做一做，对课堂上看到的听到的东西是很难理解掌握的，不去实践体验是不能真正掌握知识的。读图技能仅仅靠看是掌握不了的，需要在实际操作中学习；不同背景下的操作可以促进技能的掌握，教学中设计一些练习让学生通过实践操作去学习、感受、体会不同函数类型图像的解读。例如：作 y =0.5x、y=0.3x的图像，根据图像归纳出底数大于0小于1时，指数函数的性质；比较大小： 0 .53/4、 0 .54/5；若(3/5)x= 2 ，其中的x取正值还是负值；作y = l og0.3x,y = l og0.5x 的图像，归纳出底数大于0小于 1时对数函数的性质；比较下列各组数的大小：log35,log37；cos57°,cos58°；arcsin0.6,arcsin0.61；用 函 数 图 像 解 不 等 式等等，旨在让学生通过练习熟悉读图的方法、步骤；熟悉基本初等函数的图像、性质，能用图像与性质解决一些基本问题；了解图像语言与其它语言的互译，可以把一些数学问题转化为函数或函数图像问题来解决；初步掌握读图技能。把一个问题的求解转化为用函数图像来求解，是一种重要的数学思想方法，是函数图像的重要应用，是读图的高级境界。心理学家马丁.塞利格曼认为人容易成为思维和习惯的囚徒，要培养学生的读图思维和读图习惯，需要在教学活动中不断地通过示范和练习来实现。

函数读图是函数学习中重要而基础的技能，需要师生共同重视，需要教师的示范与学生自身的练习，学生才能掌握。

[1]A. A 斯托利亚尔．数学教育学[M]．.北京：人民教育出版社，1985．

[2]乔治·波利亚．数学的发现[M]．.北京：科学出版社，2007．

[3]宋乃庆，等．中国基础教育新课程的理念与创新[M]．北京：中国人事出版社，2003．