蒸汽腔演变与SAGD产量预测的数学关系研究

许晓宏，王丹霞 （长江大学地球科学学院，湖北 武汉430100）

由式（13）可以总结出蒸汽腔体积随时间推移而不断增大。蒸汽腔的高度（h）增大到注汽井口与油藏顶端之间高度（hi）时所需要的时间为（ti），其计算公式为：

随着稠油油田进入蒸汽吞吐和蒸汽驱热采的后期，蒸汽辅助重力泄油 （Steam Assisted Gravity Driange，SAGD）逐渐成为成熟的接替性技术。SAGD是一种合理整合了水平井技术、重力作用以及蒸汽热能的稠油热采技术。然而，现有对SAGD产量预测的研究中，多数分析模型侧重于油藏的泄油能力，忽略了SAGD技术实施过程中的技术细节。SAGD生产环节中，蒸汽腔的演变过程对驱油效果极为重要，控制注汽干度、注汽速度、排液速度等参数，可以使液体最大程度的泄流到生产井内。除此之外，合理调整生产速率以及井底温压有利于提高原油的累计采收率和汽油比。

图1 SAGD蒸汽腔泄油模式图

1 蒸汽腔演变及重力泄油原理

由注汽井持续向油藏内注入蒸汽，蒸汽依次向上方、四周、下方运动，最后形成完整的蒸汽腔体 （见图1），其纵剖面形状类似于窄面的扇形。蒸汽腔内表面的蒸汽冷凝，向周围油藏释放热量。油藏中受热降黏的原油与冷凝液在重力作用下被驱向水平生产井，发生泄流。加热区前缘向上方的油藏推进，既保持了油藏的压力和驱动力，又可以提高蒸汽波及范围。SAGD生产后期，蒸汽腔逐渐到达油层顶部，热传递在上覆岩层下面的四周进行。

2 蒸汽腔数学模型

加拿大学者Butler最早开始研究SAGD稠油热采技术❶❷❶Butler R M.Thermal Recovery of Oil and Bitumen，Englewood Cliffs.N J：Prentice Hall，1991：285－359.❷Butler R M.Horizontal wells for the recovery of oil，gas and bitumen.Calgary：The Petroleum Society of CIM，1994.，并给出理想模式下水平生产井一微元段的泄流量公式：

式中，qm为最大产液量；h为蒸汽腔的高度；k为储层的有效渗透率；g为重力加速度；a为储层热扩散率；φ为孔隙度；ΔSo为可流动油饱和度；vs为蒸汽温度下的原油黏度；m为黏度常数，m≈3。

根据Butler的公式可知，在储层的有效渗透率、储层热扩散率、孔隙度、可流动油饱和度、蒸汽温度下的原油黏度，已知的情况下，影响一微元段水平井的泄流量主要因素是蒸汽腔所波及到的油层厚度。因此蒸汽腔高度（h）即为被波及的油层厚度 （见图2）。基于这一认识可以得出以蒸汽腔高度为变量的泄流量表达式：

式中，hp为油藏顶与生产井之间的距离（h＜hp）。

随着蒸汽腔的不断扩展，蒸汽腔的垂向高度不断增加，假设其形状不发生变化，则累计泄油量与蒸汽腔单位面积的可流动原油及蒸汽腔高度成正比。蒸汽腔的高度（h）如图2简化的一微元段蒸汽腔数学模型所示。蒸汽腔宽度的表达式为2b，且b＝c·h，c是与蒸汽腔形状有关的常数。则一微元段的蒸汽腔体积可以表示为：

图2 SAGD蒸汽腔泄流模型

而一微元段的泄油体积即为储层中被释放的孔隙体积：

由式（1）～ （3）可得：

式 （4）仅适用于泄油速率与生产速率一致的情况下。

3 SAGD产量计算

注汽井内注入的蒸汽遵守能量守恒定律❶❶Nukhaev M，Pimenov V，Shandrygin A，et al.A New Analytical Model for the SAGD Production Phase，San Antonio：Texas，2006：24－27.。注入蒸汽冷凝过程中释放出的热量，一部分被加热油层吸取，另一部分则持续向上透过油层扩展演变成另一个蒸汽腔的边界。其热量守恒表达式为：

被蒸汽腔波及油层所吸收的热量表达式为：

蒸汽腔高度和蒸汽腔界面温度是决定蒸汽腔体积的重要因素。蒸汽腔界面的温度ΔT表达式为：

透过油层持续向上运动扩展的蒸汽热量表达式为：

式中，L为蒸汽冷凝的热量；P为蒸汽腔的周长；ρc为油藏的体积热容；u为蒸汽腔边界的局部速度；ξ为到界面的法线距离。

蒸汽腔上升过程中，因为流体对流与热损失的相互作用，所以不会形成完整的扇形蒸汽腔。图1所示蒸汽腔为便于计算的理想数学模型，实际上并不存在上边界，因此蒸汽腔上边界不算在周长内。蒸汽腔边界的推进速度就是蒸汽腔高度的增长率（u＝dh／dt），由式（6）可得：

另外，蒸汽腔体积的增加也受到原油产量的影响，原油产量的公式为：

由于预加热阶段的注入蒸汽热量和压力不断增大，使得油藏的泄油速度增加［1］。因此式（8）与式（3）的泄油量公式有所不同。总产量可以表示为：

将式（7）和式（8）带入到式（9）中，可以得到关于A的表达式：

通过式（8）可以得出原油产量与总产量之间的关系表达式为：

由式（11）可知，当qp与最小产量值qp1的无限接近时，意味着只生产冷凝液，而且蒸汽冷凝过程中释放出的热量被其周围的油藏吸收。通过qpo的表达式可以推导出蒸汽腔体积的变化公式：

由式（13）可以总结出蒸汽腔体积随时间推移而不断增大。蒸汽腔的高度（h）增大到注汽井口与油藏顶端之间高度（hi）时所需要的时间为（ti），其计算公式为：

当t＜ti时，油藏中的对流现象以及温度变化情况相当复杂。但是，当t＞ti时，可以通过计算预测生产井内泄入流体的温度变化规律［2］。根据公式（1）和公式（13），可知随着时间的变化产液量不断增加。当qm＜qpo时，产水量始终低于产油量；然而高产时期（t＞tp）容易产生汽窜现象：

满足产油量与总产量相等时的蒸汽腔高度（hs）公式为：

根据以上分析和计算公式，给出原油的产量公式：

式中，qλ为蒸汽腔边界的流体导热系数；tf为蒸汽腔高度扩大到油藏高度的时间。

经数值模拟和室内试验证明，当蒸汽腔高度达到油藏顶端时，原油产量开始下降。当tf近似等于ts（qp2≈qp1，t≈1）时，式（16）成立，且原油产量随tλ推移而下降。

4 结 论

（1）建立SAGD生产阶段的产量数学模型，可以更好地解释泄流量与蒸汽腔演变之间的数学关系。通过数学模型相关公式，可以计算不同生产阶段由蒸汽冷凝散热作用而产生的泄流量和油水比值。

（2）该数学模型可以预测蒸汽腔底边缘接近注汽井的时间，以及生产井中的泄流流体温度的递增变化。早期的汽窜现象发生在高产时期，通过该数学模型可以预测SAGD生产后期的汽窜发生时间。

［1］郭二鹏，刘尚奇，王晓春，等 .直井与水平井组合的蒸汽辅助重力泄油产量预测 ［J］.断块油气田，2008，15（3）：71～74.

［2］于九政，刘易将，刘芳 （编译）.蒸汽辅助重力泄油数学模型 ［J］.国外油田工程，2009（3）：13～16.