基于数学建模的城市表层土壤重金属污染浅析

何雨森，李骅锦，芦 慧，王玉兰，魏友华

（成都理工大学，成都 610059）

0 前言

近年来，城市人口不断加剧，城市经济快速发展，随之产生的便是日益加剧的土壤地质环境污染问题，而导致土壤污染的原因主要归结于地质活动和人类活动。在现代相当多的关于重金属表层土壤污染物的前沿研究当中，运用数学模型（如对流模型，热传导方程模型等）针对动态扩散污染物，并基于GIS等计算机软件模拟传播过程并使之可视化的技术日趋成熟。作者在本文对于城市表层土壤重金属污染问题的探究，主要根据表层土壤（0cm～10cm）的采样数据，重点分析解决人类活动对城市环境质量的突出影响。

1 基于克里格插值的重金属污染空间分析

克里格方法［1］（Kriging）公式可表示为式（1）。

式中Z（x0）为未知样点的值；Z（xj）为未知样点周围已知样本点的值；ωj为第j个已知样本点对未知样本点的权重；n为已知样本点的个数。同时，作者引入了变差函数，来对目标函数赋予权重：

由此，根据该模型进行插值，可拟合出重金属元素的空间分布图。其流程图见下页图1。

首先，将数据单位进行统一，均以微克（μg）作为测量单位。随后，利用克里格插值法加密数据点，以得到八种重金属的空间分布图，见下页图2。在图2中，横坐标、纵坐标为城市中各个功能区的位置，竖坐标为各个元素在该位置的含量。

2 评价模型建立

2.1 单因子污染指数法建立评价指数模型

参照重金属元素的背景值以及《中国土壤环境质量标准》（GB15618－1995）［2］，得到了各种金属的分级临界值：

Xa（一级标准的最高值）。

Xc（二级标准的最高值）。

Xp（三级标准的最高值）。

作者采用单因子评价法［3］，建立重金属污染评价指数模型见公式（2）。

对比标准得到了各个区域的各种重金属的污染指数评级。结果如表1所示（见下页）。

由于部份重金属的含量存在极端情况，为了更严格地确定重金属污染程度，作者在此采用单指标最差原则［4］，工业区的Hg、Cu指标已接近0.5，交通区的Cd、Cu、Zn 指标也已接近0.5，占绝大比重。因此，针对工业区和交通区，我们修正的结果如表2所示（见下页）。

表1 各区域的各种重金属的污染指数评级Tab.1 The regional various heavy metal pollution index rating

表2 修订后该城区不同区域重金属污染级别Tab.2 Revised heavy metal pollution level in different region

2.2 各重金属元素含量对区域污染程度的隶属度评价

为了得到该城区中各个重金属污染元素对土壤的综合影响，对于每一个重金属元素，需分别计算出每个功能区的相应因素，对于各个等级的隶属度，其步骤大致如下：

（1）建立因子集U＝｛As、Cd、Cr、Cu、Hg、Ni、Pb、Zn｝。

（2）计算每种金属的隶属度函数为式（3）。

通过分析表3中的数据可以得出：

（1）生活区主要的污染因素为Pb、Cu。

（2）工业区主要污染因素为Cu、Hg、Pb、Zn。

（3）山区均符合标准。

（4）交通区主要污染因素为Cr、Pb。

（5）公园绿地区主要污染因素为Cd、Pb、Cu、Hg。

2.3 因子的灰色关联分析

如果重金属之间存在显著关联，则其来源可能相同，否则来源可能不止一个。为此，作者建立了关联度模型［5］，研究各个污染物因子之间的关联性。

令ZBi为第i个重金属元素，则有：ZBi、ZB0在第k类地区的关联系数，如公式（4）。

其中 △i（k）＝｜xki－xoi｜，（i＝1，2，…，m；k＝1，2，…，n）；a＝min△i（k）；b＝max。

ZBi与ZB0的总体关联度为：

从而得到不同功能区各个重金属元素的关联度系数。作者以Zn在各个区域和其它金属元素的关联度为例，结果见下页表4。

经过关联度分析，最终得出该城区各功能区重金属污染均与工业污染有关，且各个重金属元素之间有很强的关联性。因此，该城区工业污染相对严重。

3 模拟污染物的传播及确定污染物的位置

3.1 基于热传导方程的传播过程模拟

经查询文献发现，在平面上重金属污染物的传播和平面上热传导过程有相似性［6］，故利用热传导过程的方法与思路模拟其传播过程。

2.2 两组患者治疗前后胎儿生长指标比较 治疗前，两组患者孕20周时胎儿BPD及FL比较，差异无统计学意义(P>0.05)；治疗后，用药8周后胎儿BPD及FL显著高于治疗前(P<0.05)，且治疗组明显高于对照组(P<0.05)。见表2。

首先假设在某一个小区域内仅有一个污染点“0”，在污染源处的浓度会很高，即为浓度的唯一极值点。此点类似于热传导模型中的点热源，周围区域的含量大小也类似于点热源周围的受热程度。

传统的热传导方程公式［7］如公式（5）。

3.2 差分法网格化

热传导方程是典型的偏微分方程，通过偏微分方程数值解中的差分法，可以设计叠代算法程序计算每种重金属在城区的分布。首先，根据实际情况设定边界、初始条件；然后，离散化方程；最后，在程序上计算得到一系列在设定的坐标系下网格结点处的值，即为重金属元素的浓度值。

表3 八种重金属元素对于五个功能区污染状况隶属度Tab.3 Degree of membership of 8kinds of heavy metals on 5functional areas pollution

表4 Zn在各个功能区与其它金属的关联度Tab.4 Association between Zn and other metal element in various functional areas

3.3 模拟退火算法找到污染源

通过差分法，已经基本得到了各种元素在城区空间的静态分布状况，接下来就是寻找污染源。作者运用模拟退火算法，通过构建模型寻找各种重金属元素浓度的最高值，来确定污染源的位置。

在使用退火算法的过程当中，默认每次迭代得到的极大值即为最优解。

退火系统在早期允许差解存在，存在概率为P，这个概率会越来越小。由于目标是要找到最优解，所以系统后期基本不接受差解，可以用公式（6）来表示。

为了寻找最优解，对每种重金属元素的数据进行十次测试，取十次运算的最佳值作为这组数据的实验结果。利用Matlab软件，按照上述算法编程实现，最终得到每种元素在该城区内极大值点的坐标，见后面表5。

3.4 结果验证分析

为了提高模型的科学性、准确性，需要对模拟结果进行验证。作者将各种金属的模拟来源位置与城市区域图进行叠加，如图4所示（见下页）。

通过观察表5可知，As与Cu、Cr与Ni、Zn来源于同一位置，且这八种元素的位置距离较近。结合数据，极大值坐标位于（6，8）的有As、Cd、Cu，它们的污染源位置主要在工业区；而极大值坐标位于（9，22）的有Cr、Hg、Ni、Zn，它们的污染源位置主要在交通区；极大值坐标位于（16）的即Pb，它的污染源位置在生活区。

结合关联度模型，可知各种重金属元素具有很强的关联性，可能是由于同一污染源所致。并且，通过对关联度模型中污染主要原因分析可知，该城区主要受工业污染的干扰导致土壤质量不断恶化。可以推断，该城区污染源的位置在坐标（1647＊895～6534＊6018）这一片区域内，且主要由坐标（1647，2728）和坐标（2383，3692）这两地的工业区所致。因此坐标（1647，2728）和坐标（2383，3692）这两地为该城区污染源的位置。

图3 模拟退火模型的基本算法Fig.3 Basic algorithms of simulated annealing module

图4 各种金属的模拟来源位置与城市区域叠加图Fig.4 Layout chart combined with urban area and location of simulated source of various metal element

表5 每种重金属元素在该城区内极大值点坐标Tab.5 Maximum point coordination of each kind of heavy metal element in the area

4 结论

综上所述，作者所使用的方法以及所获得的结论，可以为其它城市重金属表层土壤污染相关的研究与分析提供参考。

［1］秦伟良，刘悦.空间插值法在降水分布中的应用［J］.南京信息工程大学学报：自然科学版.2010（2）：162.

［2］百度百科.土壤环境质量标准.http：／／baike.baidu.com／view／1738501.htm.2011.

［3］王芬，彭国照，蒋锦刚.基于双层组合神经网络的川芎道地产区土壤重金属污染评价与GIS可视化［J］.成都信息工程学院资源环境学院学报，2010（3）：75.

［4］段雪梅，蔡焕兴，巢文军.南京市表层土壤重金属污染特征及污染来源［J］.南京市环境科学与管理学报，2010（10）：31.

［5］刘光廷，邱德隆.三维热传导问题的间接边界元法［J］.清华大学学报：自然科学版，2010（36）：8.

［6］王学贺.离散正则方法在一维热传导方程寻源反问题中的应用［J］.燕山大学学报，2008（32）：88.

［7］谢红燕.基于并行模拟退火算法的VRP 问题研究［J］.物流技术月刊，2010（8）：67.

［8］汤世明.基于GIS的大气污染物扩散模拟分析系统设计与实现［J］.水电能源科学，2011（9）：29.

［9］陈宝.上海第4层淤泥质粉质粘土的热传导特性［J］.地下空间与工程学报，2011（8）：25.

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