基于指数标度的G1法及其应用

常艳梅，陈义华

(重庆大学数学与统计学院，重庆 401331)

层次分析法作为一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法，在运营管理评价、厂址选择、技术评价、资源分析、交通运输、安全评价等方面得到了广泛的应用［1－2］。在用层次分析法确定评价指标体系权重时，特征值法是最常用的方法之一，但由于在实际应用中判断矩阵的一致性难以满足，所以判断矩阵一致性的检验标准C.R.＜0.1的科学性有待考证。心理学实验表明:当被比较的元素个数超过9时判断就不再准确，且当指标较多时，计算量很大。基于上述原因，文献［3］提出了一种无需一致性检验的方法——G1法。由于指数标度具有许多优良的性质，因此其得到人们的认可和广泛应用。笔者将指数标度用于G1法，为指标相对重要性程度的比较判断提供赋值参考。应用基于指数标度的G1法确定了城市消防安全评价指标体系中指标的权重。

1 G1法及其步骤

G1法是东北大学的郭亚军教授通过对特征值法的改进提出的一种无需一致性检验的方法。该方法不用构造判断矩阵，计算量相比层次分析法明显减少，且对同一层次中的元素个数没有限制，具有简便、直观、便于使用的特点。G1法分为以下3 个步骤［3］:

1.1 确定序关系

定义1 若评价指标xi相对于某评价准则(或目标)的重要性程度大于(或不小于)xj时，则记 xi≻xj。

定义2 若评价指标x1，x2，…，xm相对于某评价准则(或目标)具有关系式

时，则称评价指标x1，x2，…，xm间按“≻”确立了序关系。这里表示 x1，x2，…，xm按序关系“≻”排定顺序后的第 i个评价指标(i=1，2，…，m)。为书写方便且不失一般性，以下仍记式(1)为

对评价指标集 {x1，x2，…，xm}建立序关系的步骤见文献［3］。

1.2 给出 xk－1与 xk间相对重要性程度的比较判断

设专家对评价指标xk－1与xk的重要性程度之比 ωk－1/ωk的理性判断分别为

当m较大时，由序关系式(2)可取rm=1。rk的赋值可参考表1。

表1 rk赋值

关于rk之间的数量约束，有下面的定理:

定理1 若x1，x2，…，xm具有序关系式(2)，则 rk－1与 rk必须满足

1.3 权重系数ωk的计算

定理2 若专家(或决策者)给出rk的理性赋值满足关系式(4)，则ωm为

而

2 指数标度

在综合评价过程中经常存在一些因素无法定量表示的情况，所以只能对其进行定性分析，此时就需要借助标度将人们的主观感觉数量化，以实现对其的客观描述。该过程是决策的基础和依据，因而标度方法的科学性至关重要［4］。

2.1 G1法中标度的缺陷

假定对3个指标x1、x2、x3按重要程度排序有x1≻x2≻x3，其中 x1比 x2稍微重要，x2比 x3稍微重要。设 ω1、ω2、ω3是指标 x1、x2、x3的相对重要性程度，按表1中给出的标度法对指标间的相对重要性程度之比进行赋值，有

由于指标间的相对重要性程度之比满足传递性，可得ω1/ω3=1.44。研究表明:x1比 x3重要是合理的，即正常情况下应为ω1/ω3=1.4，相对来说指数标度更加符合人们的对应习惯［5］。表1标度中若x1比x2极端重要，其相对重要性程度之比仅为1.8，与人们通常的认知不相符，影响指标间重要性程度内在关系的准确表达。

2.2 指数标度

心理学上的韦伯－费希纳定律表明:当客观差别等比递增时，主观感觉等差递增。指数标度就是在此基础上构造的一种“等距分级、等比赋值”的标度方法［4］。

首先将决策者对因素xi比xj重要性程度之比的主观感觉判断等距地分成n等级，如同等重要、稍重要、重要、很重要、极重要等，分别以cij=0，1，2，…;i，j=1，2，…，n 表示，称 cij为感觉判断。依据韦伯－费希纳定律，设相邻两级客观重要性比率为a，a＞1，则xi与xj客观重要性程度之比为ωi/ωj=acij，其中 ωi、ωj分别为 xi、xj的客观重要性程度，称acij为xi对xj的重要性程度之比的客观差别判断［6］。

文献［7］指出了对于关系的复合假设:2个“稍重要”的复合等于“重要”;2个“重要”的复合等于“很重要”;2个“很重要”的复合等于“极重要”。这是符合人们的心理习惯的。据此构造了一种指数标度——标度(可复合标度)。基于此类指数标度的指标间相对重要性程度之比rk的赋值可参考表2。

表2 基于指数标度的rk的赋值

指数标度有利于根据人们的感觉判断对指标间的客观重要性程度之比进行准确揭示，其构造方式使得标度间的重要度满足传递性，且cij允许取任何实数。由于感觉判断的数值表示与通常人们在确定因素间的重要性程度之比时的表示方式有所差异，为使指数标度更加符合人们的思维习惯，在专家做出指标间的重要性程度关系(如同等重要、稍重要、重要等)的感觉判断后，直接根据对应指数标度的赋值参考得出指标间的客观重要性程度之比。将指数标度用于G1法，有利于客观、准确地反映评价指标体系中各指标的权重。

3 基于指数标度的G1法

对于复杂的综合评价问题，经常需要依据层次分析法对问题本质及其影响因素等进行分析，然后按照一定的规则将因素分解为目标、准则、方案等层次，进而建立一个递阶层次结构，并选取适当的综合评价方法对其进行处理。用基于指数标度的G1法对此类问题进行指标权重计算时，首先进行层次单排序，然后依次沿递阶层次结构由上而下地逐层计算得到层次总排序。

3.1 层次单排序

层次单排序用于计算子系统中时，某层次因素相对于上一层次中某一因素的相对重要性程度为权值。用基于指数标度的G1法对某层因素进行层次单排序的步骤如下:

1)组织专家确定待评价的指标相对于某一评价准则的序关系。

2)依据指数标度设定的重要性程度之比的赋值参考，对专家给出的序关系中相邻两评价指标间的相对重要性程度的比较判断进行量化。为减少评价专家主观因素的影响，提高评价结果的准确度和可靠性，可同时组织多名专家分别对同一排序问题中评价指标的重要性程度进行比较判断，并借助区间赋值进行指标间重要程度的赋值。

假设L位专家对于评价指标 x1，x2，…，xm建立了相同的序关系，不妨设为x1≻x2≻…≻xm，专家j对指标xk－1与指标xk间的相对重要性程度之比 rk的赋值记为［rkj1，rkj2］，其中 j=1，2，…，L，k=m，m －1，…，2，则

3)根据rk的值，由式(5)、(6)计算各指标的权重系数ωk。

3.2 层次总排序

要得到最低层次的指标关于总目标的排序权重，需要在得出各指标相对于上一层元素的相对权重的基础上按照由上而下的顺序将其进行层次总排序。

假设指标集 X={x1，x2，…，xm}相对于其上一层指标集 B={b1，b2，…，bn}中各元素 bl的权重为{ωl1，ωl2，…，ωlm}，l=1，2，…，n，其中不受指标 bl支配的元素 xi的权重 ωli为 0［8］。指标集{b1，b2，…，bn}中各元素相对于总目标的权重已求得，设为 β1，β2，…，βn，则指标 xi相对于总目标的权重为

4 基于指数标度的G1法的应用

公安消防部组织相关部门和专家建立了城市消防安全评价指标体系，该指标体系由“公共消防基础设施”“公共消防管理保障”“消防宣传教育培训”“灭火救援应急联动”和“火灾预警防控”共5个方面的17个二级子系统和30个评价指标构成［9－10］。

要实现对城市消防安全的评价，各评价指标权重的确定是其重要步骤。用基于指数标度的G1法确定评价指标体系中5个一级指标的权重。

首先，由专家讨论确定了5个指标之间的序关系为:公共消防基础设施(A1)≻公共消防管理保障(A2)≻消防宣传教育培训(A3)≻火灾预警防控(A4)≻灭火救援应急联动(A5)。

其次，由专家分别给出相邻指标间的相对重要性程度的比较判断，并借助指数标度将其量化得到其赋值区间，根据式(7)计算rk，整理得:

由式(5)、(6)计算得公共消防基础设施、公共消防管理保障、消防宣传教育培训、火灾预警防控和灭火救援应急联动的权重分别为0.290 4、0.225 8、0.196 8、0.156 6、0.130 4。

用基于指数标度的G1法对城市消防安全评价指标体系中各层的指标进行了层次单排序之后，按照由上而下的顺序进行层次总排序，从而得到各指标相对于总目标的权重。其中“公共消防基础设施”子系统中各评价指标的权重见表3。

表3 “公共消防基础设施”子系统的评价指标权重

5 结束语

本文针对G1法指标间相对重要性程度赋值参考标度存在的问题，引入了指数标度对其进行改进。在用基于指数标度的G1法确定评价指标的权重的过程中，由于指数标度的优良性质使得各评价指标间的重要性程度通过人们的主观感觉得以定量表示，且无需构造比较判断矩阵，因而与层次分析法相比计算量大幅减少。在城市消防安全评价指标体系中各指标权重的计算是城市消防安全评价的重要步骤，本文提出的方法对此类问题的解决有一定的参考价值。确定指标间相对重要性程度之比时采用区间赋值及多专家群组判断的实现还需进一步研究。

［1］Ishizaka A，Labib A.Review of the main developments in the analytic hierarchy process［J］.Expert Systems with Applications，2011，38:14336 －14345.

［2］杜栋，庞庆华.现代综合评价方法与案例精选［M］.2版.北京:清华大学出版社，2008.

［3］郭亚军.综合评价理论、方法及应用［M］.北京:科学出版社，2007.

［4］舒康，梁镇伟.AHP中的指数标度法［J］.系统工程理论与实践，1990(1):6 －8.

［5］王学军，郭亚军.基于G1法的判断矩阵一致性分析［J］.中国管理科学，2006，14(3):65 －70.

［6］吕跃进，张维.指数标度在AHP系统中的重要作用［J］.系统工程学报，2003，18(5):452 －456.

［7］丁俭，王华，赵敏.一种简明的群体决策AHP模型及其新的标度方法［J］.管理工程学报，2000，14(1):16－18.

［8］王莲芬，许树柏.层次分析法引论［M］.北京:中国人民大学出版社，1990.

［9］吴美文，吴军.主、客观综合赋权法在城市消防安全评价中的应用［J］.消防科学与技术，2009，28(7):525－527.

［10］晓轩.不再仅以火灾四项指标“论英雄”［N］.人民公安报·消防周刊，2009－06－24(1).