随机互补问题在供应链网络均衡问题中的应用

瑛瑛

（呼伦贝尔学院 数学科学学院，内蒙古 海拉尔 021008）

随机互补问题在供应链网络均衡问题中的应用

瑛瑛

（呼伦贝尔学院 数学科学学院，内蒙古 海拉尔 021008）

针对带有随机需求的有制造商，零售商，和需求市场的三层供应链结构网络模型,分别对于制造商、零售商与需求市场的决策者的独立决策行为及其相互作用进行了分析,利用变分不等式构建了各层均衡模型以及系统均衡模型,得到了系统达到均衡的条件；给出了经济解释；最后给出一个具体算例并利用求解随机非线性互补问题的光滑化样本均值逼近方法进行求解.

供应链网络；随机需求；均衡；随机互补问题

2002年，Nagurney等人[1]研究了有三层决策者:生产商、零售商和消费者的供应链网络.针对这个供应链网络，他们综合考虑了每层决策者的最优决策从而给出了均衡条件，建立了相应的有限维变分不等式模型.随后，Dong等人[2]讨论了包含生产商和零售商两层决策者的供应链网络.与[1]不同，Dong等用产品的随机需求代替消费者，再考虑这个应用更加广泛的供应链网络模型.最后，在这个模型含有的随机需求的概率分布已知的假设下，他们用相应函数的数学期望给出了其变分不等式形式的均衡条件.Wa 用品[3]等人考虑了由生产商、批发商和零售商三层决策者组成并具有传统市场和电子市场形式的供应链网络均衡模型，并把该模型转化成随机非线性互补问题.Luo[4]等人考虑含有随机需求的，且带有生产产量限制的供应链网络模型，给出了该模型的均衡条件并把它转化成了带有约束的随机变分不等式问题.

这里作为随机非线性互补问题的应用，我们考虑带有随机需求的有制造商，零售商，和需求市场的三层供应链结构网络模型，与文献中模型不同的是，我们假设零售商的随机需求的概率分布是已知的，而需求市场的随机需求的概率分布是未知的.

1 模型描述

我们假设所有的生产商和零售商之间都是非合作竞争以自己的利益最大，并且生产商生产同一产品.我们假设在这个供应链网络中有m个生产商和n个零售商及0个需求市场.下面本文将对制造商，零售商及需求市场进行逐层研究，分别对供应链各层成员的决策行为进行描述，利用变分不等式描述各层均衡条件，并给出经济解释.

1.1 制造商市场均衡模型的建立

令fi表示生产商i的生产费用函数，qi表示第i个生产商的生产量，从第i个生产商到第j个零售商之间的产品运输量记为qij(i=1,…,m;j=1,…,n).Q1=(q11,q12,…,qmm)T是由所有生产商的生产产量组成的mn维向量.fi=fi(Q1),∀i(此函数也许只与qi有关.但为了提高此模型的适用性，我们假设它与Q1有关 流量守恒）.ρ1ij,cij(qij)分别表示制造商i同零售商j交易产品所发生的批发价格和交易成本(含运输成本).

对制造商i而言，以实现利润最大化为目标，则制造商i利润最大化的优化模型为：

假设每个生产商的生产费用函数和交易费用函数均为连续，凸的.由于每个生产商相互之间都是Nash（1950,1951）-Cournot（1838）博弈，可写出问题（1）的最优性条件，Nash-Cournot均衡可写成下面的变分不等式（参[5]）:

由(2)式表示的最优性条件的经济解释为：如果零售商购买产品愿意支付的价格恰好等于生产商的边缘生产费用与交易费用的和，则生产商给零售商的运输量是正的.相反，如果生产商的生产费用与交易费用的和超出了零售商所愿意支付的价格，则生产商给零售商的运输量是零，即他们之间不产生交易.

假设每个零售商的交易处理费用是连续凸的，则零售商的最优性条件满足：求，使得：

零售商最优性条件的经济解释为：不等式（4）式的第二项表示，如果需求市场k中的消费者从某一个零售商j购买产品，即，则零售商j的索价恰好等于从不等式（4）的第三项又可看出，这也是从零售商j清空市场的价格.从不等式（4）的第二项也能看到，如果某一零售商没有售出产品，则他保留产品的价格超出了他对产品的索价.接着，从不等式（4）的第一项看到，若生产商i和零售商j之间有产品流量，则等于零售商j的支付价格ρ1ij加零售商j的边缘处理费用，还有多余需求的惩罚费用以概率相加，再把多余供应的惩罚费用以概率减去得到的结果.

1.3 需求市场中消费者的均衡模型的建立

令qjk表示零售商j对需求市场k的销售量.cjk是需求市场k中消费者从零售商获得产品时的交易费用，则cjk=cjk(Q2),∀j,k.其中：Q2是no维列向量，表示零售商到需求市场的产品销售量.假设：对∀j,k交易费用cjk(Q2)连续，正；ρ3k：需求市场k的产品价格；ρ3是需求市场价格的o维列向量.随机需求Dk=Dk(ρ3)意味着：需求市场k中消费者对产品的需求不仅依赖于该市场上的价格，还与其他市场的价格有关；设随机变量Dk=Dk(ρ3)的概率分布未知，则我们先把Dk=Dk(ρ3)表示成：

其中dk(ρ3)是严格递减函数.在很多经济方面的文献中，又把dk(ρ3)表示为：dk(ρ3)=ak-bkρ3(ak>0,bk>0)或dk(ρ3)=ck(ρ3)-dk(ck≥0,dk≥0)的形式.本文中，我们假设Dk(ρ3,ξ)=ak-bkρ3+ø(ξ)，其中ø:Ω→Ξ⊂R是定义在概率空间(Ω,F,P)上的函数，ξ是一个随机向量，ak,bk为正参数.记ρ*2j：需求市场k与零售商j的交易价格.

需求市场k的均衡条件：对所有j=1,2,…,n

（5）式表明，如果需求市场k中消费者从零售商j购买产品，则零售商的索价加上交易费用不超过消费者愿意支付的价格.（6）式表示，如果消费者愿意支付的均衡价格大于零，则零售商购买的产品数量几乎处处等于需求市场对产品的需求.

1.4 供应链网络模型的均衡条件

记均衡状态下生产商运送到零售商的产品量为Q1*，零售商的均衡需求价格为.在均衡中，生产商运送给零售商的产品量必等于零售商从生产商那里接受到的产品量.而且，在需求市场中消费者购买的产品量必等于零售商的销售量.进一步，均衡条件下的产品量和价格需满足不等式（2）（4）（7）的和.

因此，结合（2）（4）（7），带有随机需求的供应链网络的均衡条件可以公式化成使得

2 模型描述的转换公式

这样随机变分不等式（8）可写成：求x*∈Rmn+no+o使得

事实上，这是以下的随机互补问题：求x*∈Rmn+no+o使得

3 模型的一个算例

下面给出了一个算例：

例1 供应链网络是由两名生产商，两名零售商及两名消费者三层决策者组成的.生产费用函数为：

生产商的交易费用函数为：

零售商的交易费用函数分别为：

随机需求Dj(ρ2j)在区间[0,1 0/ρ2j],j=1,2上服从均匀分布，则Dj(ρ2j)的概率分布函数

Dj(ρ2j)的概率密度函数

消费者的随机需求Dk(ρ3)，k=1,2分别为：

其中，随机变量ξ在[-1,1]上服从均匀分布.

利用.6]中提出的光滑化样本均值逼近方法计算该例题，得到的结果如表1：

表1 例1的计算结果

〔1〕A,Nagurney.J,Dong.D,Zhang.A supply chain network equilibrium model[J].Transportation Research Part E.8 (2002)281-303.

〔2〕J.Dong,D.Zhang and A.Nagurney.A supply chain network equilibrium model with random Demands[J]. European Journal of Operational Research,156(2004), 194–212.

〔3〕M,Wang.M,M,Ali.G,H,Lin.Sample average approximation method for stochastic comple-menttarity problems with applications to supply chain supernetworks[J].Journal of Industrial and Management Optimization,2011,7(2):317-345.

〔4〕M.J.Luo and G.H.Lin.Stochastic variationalinequality problems with additional con-straints and their applications in supply chain network equilibria.

〔5〕A.Nagurney.Network Economics:a VariationalInequality Approach[M].Kluwer Academic Publishers,Dordrecht,1999.

〔6〕瑛瑛，韩金桩.求解随机非线性互补问题的光滑化样本均值逼近方法[J].2013.

F 247；O 224

A

1673-260X（2013）02-0002-03