关于一类求直线问题的讨论

郭佳

摘要：讨论了求平行于定方向并与两条已知直线相交的直线问题可能的解的情况，在有唯一解的情况下给出该问题的解法

关键词：直线；平面；平行；相交；方向向量

在空间解析几何中，直线和平面是一个很重要的内容对这部分内容的考查方法也很灵活，在各类教材和习题册中都会出现如下一道求直线的问题：

问题：给定空间一非零向量

由于空间两直线的位置关系有平行，相交，重合与异面几种情况，因此当题目中

l，l的位置关系不同时，该问题也会相应地出现无解，有无数多解和有唯一解几种情况下面先对这几种情况进行讨论，再对有唯一解的情况给出几种不同的解法为方便起见，认为已知向量v既不平行于

l又不平行于l

一、对问题的分析

l，l重合时，过l（l）上任一点以

v为方向向量作直线l，则直线l都满足题意，即平行于

v且与l，l都相交的直线有无数多个

当l，l平行时，l，l确定的平面记为π，

（）若v平行于π，则过

l（l）上任一点以

v为方向向量作直线l，直线

l都与l（l）相交，此时平行于

v且与l，l都相交的直线有无数多个

（）若v不平行于π，则平行于

v

且与l（l）相交的直线一定与l（l）异面，即平行于

v且与l，l都相交的直线不存在

3当l，l相交时，

l，l确定的平面记为π

（）若

v平行于π，则过l（l）上任一点以

v为方向向量作直线l，直线l都与l（l）相交，此时平行于

v且与l，l都相交的直线有无数多个

（）若v不平行于π，则平行于

v过l与l交点所作的直线满足题意，而过

l（l）上任一点（除交点外）以

v为方向向量的直线一定与

l（l）异面，即此时平行于

v且与l，l都相交的直线唯一确定

上面讨论了问题（）的解的情况，当然，对于一道考查直线和平面问题的习题，只有上述第（4）中的（ⅱ）成立时才是有意义的，下面对这种情况给出解法

二、对问题的解法探究

直线的点向式方程，两点式方程，参数方程，一般方程，平面的点位式方程，空间直线和平面，直线和直线的位置关系等知识点，通过这些解法，能锻炼学生的发散思维，引导他们对知识进行灵活运用，并根据具体问题采用不同的思路去分析，培养他们分析问题和解决问题的能力

例求与直线l：

都相交的直线方程